경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2017 · #20

학년 7 probabilitycounting

유형 Branching State Enumeration └ 세부 유형 Ordered Placement Count

probability-basicpermutations-basicdigit-constraintsparity systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: permutations-basicfraction-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

1000 이상 9999 이하인 네 자리 정수 하나를 무작위로 고릅니다. 이 수가 "홀수이면서 네 자릿수가 모두 서로 다른" 경우일 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$\frac{14}{75}$

(B)

$\frac{56}{225}$

(C)

$\frac{107}{400}$

(D)

$\frac{7}{25}$

(E)

$\frac{9}{25}$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

확률 문제는 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (가) 전체 경우의 수 세기, (나) 조건을 만족하는 경우의 수 세기, (다) 두 수의 비를 만들어 기약분수로 줄이기 — 이렇게 세 부분으로 깔끔하게 나뉩니다. (나)에서는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 발상으로 자릿수를 "채우는 순서" 를 정해 곱셈 원리를 씁니다. 핵심은 제약이 가장 강한 자리부터 채우는 것 — 일의 자리(홀수여야 함)를 먼저 정하면 그 숫자가 0이 아니라는 사실 덕분에 천의 자리(d₁ ≠ 0 조건) 세기가 단순해집니다. 마지막으로 도구 #3(가능성 지우기)으로 약분 결과가 다섯 선택지 중 정확히 하나와 일치함을 확인합니다.

1STEP 1

네 자리 수 전체 세기

(가) 전체 경우의 수. 1000부터 9999까지가 곧 모든 네 자리 수이므로 개수는 9000입니다.

|Ω| = 9999 - 1000 + 1 = 9000

2STEP 2

자릿수 정하는 순서 정하기

(나) 조건을 만족하는 경우의 수. 제약이 강한 자리부터 채워요 — 홀수인 일의 자리를 천의 자리보다 먼저 정합니다.

선택 순서: d₄ → d₁ → d₂ → d₃

3STEP 3

자리마다 경우의 수 세기

자리별 경우: 일 d₄는 홀수 5, 천 d₁은 0과 d₄를 빼 8, 백 d₂는 8, 십 d₃은 7가지.

d₄{:} 5, d₁{:} 8, d₂{:} 8, d₃{:} 7

4STEP 4

경우의 수 곱하기

각 자리의 경우의 수를 곱하면 5 × 8 × 8 × 7 = 2240개입니다.

5 × 8 × 8 × 7 = 40 × 56 = 2240

5STEP 5

분수 만들어 약분하기

(다) 약분. gcd(2240, 9000) = 40이므로 $\frac{2240}{9000}$ = $\frac{56}{225}$ 입니다.

2240/9000 = (2240 ÷ 40)/(9000 ÷ 40) = 56/225

6STEP 6

선택지와 맞춰 보기

$\frac{56}{225}$ ≈ 0.249는 정상적인 확률이고, 선택지 중 (B)와만 정확히 일치합니다.

P = 56/225 ≈ 0.249 → (B)

정답

56/225

두 가지 감각 점검을 합니다. (i) 네 자리 정수 중 약 절반이 홀수이고(P ≈ 0.5), 그중에서 나머지 세 자릿수가 모두 일의 자리 및 서로와 다른 비율은 대략

\frac{9}{10}

\frac{8}{10}

\frac{7}{10}

≈ 0.504 이므로, 두 조건이 동시에 만족될 확률은 0.5 · 0.5 ≈ 0.25 근처여야 합니다. 우리 답

\frac{56}{225}

≈ 0.249가 이 추정치와 정확히 들어맞습니다. (ii) 56 = 2³ · 7과 225 = 3² · 5²은 공통 소인수가 없으므로 이미 기약분수입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조건을 만족하는 경우의 수 ÷ 전체 경우의 수 = 확률" 만 알면 풀 수 있어요!

네 자리 수 전체 세기
자릿수 정하는 순서 정하기
자리마다 경우의 수 세기
경우의 수 곱하기
분수 만들어 약분하기
선택지와 맞춰 보기

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