AMC 8 · 2012 · #11

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Answer-Choice Plug-In

mean-median-mode-rangelinear-equations-one-var logical-deductionconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

양의 정수 7 개 3, 4, 5, 6, 6, 7, x 의 평균, 중앙값, 그리고 유일한 최빈값이 모두 같습니다. x 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}5$

(B)

$hspace{.05in}6$

(C)

$hspace{.05in}7$

(D)

$hspace{.05in}11$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

평균·중앙값·유일한 최빈값이 한꺼번에 같아야 합니다. 가장 깔끔한 길은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) — 먼저 최빈값을 확정하고(스스로 묶이는 조건이라 가장 쉬움), 그 값으로 평균 조건을 풀면 됩니다. 6 이 이미 두 번 등장하고 다른 수는 한 번씩이므로 최빈값은 자동으로 6 으로 강제됩니다 — 이 한 번의 관찰로 문제 절반이 풀립니다. 도구 #3(가능성 지우기)은 객관식이라 자연스러운 보조 — 선택지 다섯 개 중 동률 최빈값을 만들거나 평균을 6 에서 벗어나게 하는 후보를 빠르게 지웁니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)으로 후보 x 를 원래 목록에 넣어 마무리 검산합니다.

1STEP 1

6 만 벌써 두 번 나오고 다른 수는 한 번씩이니, x 가 무엇이든 유일한 최빈값은 6 입니다.

최빈값 = 6

2STEP 2

평균도 6 이니 일곱 수의 합은 7 × 6 = 42; 여섯 수 합 31 을 빼면 x = 11.

(3 + 4 + 5 + 6 + 6 + 7 + x)/7 = 6 → 31 + x = 42 → x = 11

3STEP 3

선택지 점검: 5·7 은 6 과 동률(최빈값 안 유일), 6·12 는 평균이 어긋남 — x = 11 만 남습니다.

합: 5 → 36, 6 → 37, 7 → 38, 11 → 42, 12 → 43; 필요 42

4STEP 4

x = 11 이면 정렬 목록은 3, 4, 5, 6, 6, 7, 11, 가운데 값이 6 — 중앙값도 평균·최빈값과 같습니다.

정렬: 3, 4, 5, 6, 6, 7, 11 → 중앙값 = 6

정답

hspace{.05in}11

세 통계량이 모두 6 에 모입니다 — 최빈값 6 (두 번 등장, 다른 어떤 수보다 많음), 정렬한 가운데 값 6, 평균

\frac{42}{7}

= 6. x = 11 은 다른 어떤 수보다 크지만 문제될 게 없습니다 — 정렬했을 때 맨 끝에 가서 합을 정확히 42 로 끌어올릴 뿐입니다. 빠른 점검: 알려진 여섯 수의 평균은

\frac{31}{6}

≈ 5.17 로 6 보다 작으므로, 일곱 번째 수가 평균을 6 까지 끌어올리려면 x 가 6 보다 커야 합니다 — 이 한 줄로 (A), (B), (C) 가 계산 없이 제외됩니다.

💡핵심 정리

최빈값이 6 으로 강제된다는 걸 알아채면, 나머지는 6학년 "합 = 개수 × 평균" 한 줄 계산이에요.

비슷한 유형 더 풀어보기