AMC 8 · 2012 · #14

학년 5 counting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

combinations-basiclinear-equations-one-varsystematic-enumeration convert-to-algebraguess-and-check ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticcombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

중학교 미식축구 BIG N 컨퍼런스에서는 모든 팀이 다른 모든 팀과 정확히 한 번씩 경기를 합니다. 2012 시즌 동안 총 21 경기가 열렸다면, 이 컨퍼런스에는 몇 팀이 소속되어 있을까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}6$

(B)

$hspace{.05in}7$

(C)

$hspace{.05in}8$

(D)

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(E)

$hspace{.05in}10$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

한 경기는 두 팀의 짝이므로, 결국 "n 팀에서 만들 수 있는 짝의 수" 를 묻는 문제입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 작은 n 부터 짝을 직접 적습니다 — 3 팀이면 AB, AC, BC 의 3 경기, 4 팀이면 AB, AC, AD, BC, BD, CD 의 6 경기. 도구 #5(패턴 찾기) 는 이 수들을 "새 팀 n 이 들어오면 이전 팀들과 n-1 경기가 더해진다" 는 규칙으로 정리해, 누적 합 1, 3, 6, 10, 15, 21, … 을 만들어 줍니다. 마지막으로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 21 이 나오는 선택지를 골라내면 대수 없이 답이 나옵니다.

1STEP 1

작게 시작: 2팀이면 1경기, C를 넣으면 A·B와 2경기 추가로 3경기. 새 팀은 이전 팀 모두와 한 번씩.

n = 2 → 1 경기; n = 3 → 1 + 2 = 3 경기

2STEP 2

패턴: n번째 팀은 n-1경기를 더하므로, n팀의 총 경기 수는 1 + 2 + 3 + … + (n-1).

경기수(n) = 1 + 2 + 3 + … + (n-1)

3STEP 3

누적 합 1, 3, 6, 10, 15 … 를 21에 도달할 때까지 (팀 수, 경기 수) 작은 표로 이어갑니다.

n = 2, 3, 4, 5, 6, 7 → 경기수 = 1, 3, 6, 10, 15, 21

4STEP 4

선택지 확인: n=6은 15, n=7은 21, n=8은 28 — 21을 정확히 맞추는 건 n=7뿐.

n = 6 → 15 (작음); n = 7 → 21 ✓; n = 8 → 28 (큼)

정답

hspace{.05in}7

다른 방식으로 한 번 더 확인합니다. 7 팀 각각이 나머지 6 팀과 한 번씩 경기하므로 겉보기엔 7 × 6 = 42 경기 슬롯이 생깁니다. 그런데 모든 경기는 두 팀의 관점에서 두 번 세어진 것이므로 실제 경기 수는 42 ÷ 2 = 21. 주어진 총 경기 수와 정확히 일치하므로 n = 7 이 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 팀을 한 명씩 늘려 가며 경기 수를 적어 보는 것만으로 풀 수 있어요 — 대수는 필요 없습니다.

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