AMC 8 · 2012 · #15

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

lcmmodular-arithmeticprime-factorizationdivisibility-rules identify-subproblemsmodular-arithmetic ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticprime-factorizationlcm

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문제

3, 4, 5, 6 으로 각각 나눴을 때 모두 나머지가 2 가 되는, 2 보다 큰 가장 작은 자연수를 구하고, 그 수가 보기의 어느 범위 안에 있는지 고르는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}40\text{ and }50$

(B)

$hspace{.05in}51\text{ and }55$

(C)

$hspace{.05in}56\text{ and }60$

(D)

$hspace{.05in}61\text{ and }65$

(E)

$hspace{.05in}66\text{ and }99$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

문제는 네 가지 나눗셈 조건을 한꺼번에 묶어 놓았는데, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 깔끔하게 한 단계로 단순해집니다 — 공통 나머지 2 를 빼고 "3, 4, 5, 6 모두로 나누어떨어지는 가장 작은 자연수" 즉 최소공배수(LCM) 문제로 바꾸는 것이죠. 그다음 도구 #5(패턴 찾기) 로 조건을 만족하는 N 의 규칙 — 60k + 2 — 을 읽고 가장 작은 k 를 고른 뒤, 도구 #3(가능성 지우기) 로 보기 다섯 개에 그 값을 대 봐 네 범위를 솎아냅니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 모듈러 연산 표기는 "2 만큼 옮기기" 라는 쪼개기 동작 덕분에 굳이 쓸 필요가 없습니다.

1STEP 1

"d 로 나눈 나머지 2" 는 N - 2 가 d 의 배수 라는 뜻이고, 네 수에 모두 적용하면 최소 N-2 만 찾으면 됩니다.

N 을 3,4,5,6 으로 나눈 나머지가 모두 2 ⟺ N - 2 는 3,4,5,6 각각의 배수

2STEP 2

3, 4, 5, 6 을 소인수분해해 2², 3, 5 를 모으면 최소공배수 = 60.

LCM(3,4,5,6) = 2² × 3 × 5 = 4 × 3 × 5 = 60

3STEP 3

N - 2 = 60k (k = 1, 2, 3, …) 에서 2 보다 큰 최소 N 은 k = 1 일 때 N = 62.

k = 1 → N = 62; k = 2 → N = 122; k = 3 → N = 182; …

4STEP 4

62 를 범위들 — 40–50, 51–55, 56–60, 61–65, 66–99 — 에 대 보면 61–65 만 포함해 답은 (D).

61 ≤ 62 ≤ 65 → (D)

정답

hspace{.05in}61 and 65

N = 62 를 직접 확인해 봅시다. 62 = 3 × 20 + 2 (나머지 2, 통과), 62 = 4 × 15 + 2 (통과), 62 = 5 × 12 + 2 (통과), 62 = 6 × 10 + 2 (통과) — 네 조건 모두 성립합니다. 그리고 62 보다 작은 값은 불가능합니다. 더 작은 N 이 있으려면 N - 2 가 60 보다 작은 양의 60 의 배수여야 하는데 그런 수는 없기 때문이죠. 따라서 62 가 최솟값이고, 62 는 61–65 범위에 들어가 답은 (D) 입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 공통 나머지 2 를 빼는 순간 "3, 4, 5, 6 의 최소공배수 구하기" 라는 6학년 한 가지 개념으로 줄어들어요!

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