AMC 8 · 2012 · #18

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

prime-numbersprime-factorizationprimality-testperfect-squares caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: prime-numbersprime-factorization

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

다음 네 조건을 모두 만족하는 가장 작은 양의 정수 N 을 구하세요. (i) N 은 양의 정수이다, (ii) N 은 소수가 아니다, (iii) N 은 제곱수가 아니다, (iv) N 의 모든 소인수가 50 이상이다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}3127$

(B)

$hspace{.05in}3133$

(C)

$hspace{.05in}3137$

(D)

$hspace{.05in}3139$

(E)

$hspace{.05in}3149$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

"50 미만 소인수가 없는 가장 작은 정수" 는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 의 전형적인 무대입니다. 허용되는 소수 (53, 59, 61, …) 를 순서대로 나열하고, 그 소수들로 만들 수 있는 곱을 작은 순서대로 적으면 됩니다. N 이 합성수여야 하므로 후보는 53 × 53, 53 × 59, 53 × 61, … 처럼 차례대로 검토하면 충분합니다. 객관식이므로 도구 #3(가능성 지우기) 로 마무리합니다 — 유효한 후보가 보기 중 하나와 맞으면 더 작은 보기들은 직접 확인해 제거하면 됩니다.

1STEP 1

조건 (iv) 때문에 쓸 수 있는 소수는 53, 59, 61, 67 부터 시작합니다 (51, 57 은 소수 아님).

허용 소수 = 53, 59, 61, 67, …

2STEP 2

N 은 합성수이므로 작은 소수부터 곱해 후보 53 × 53, 53 × 59, 53 × 61, … 순으로 검토합니다.

53 × 53 = 2809, 53 × 59 = 3127, 53 × 61 = 3233, …

3STEP 3

첫 후보 53 × 53 = 2809 는 제곱수라 소인수가 커도 조건 (iii) 에 걸려 탈락합니다.

53² = 2809 는 제곱수 → 탈락

4STEP 4

다음 후보 53 × 59 = 3127 은 양수·합성수, 소인수 53 과 59 가 서로 달라 제곱수 아님, 둘 다 50 이상 — 네 조건 통과.

N = 53 × 59 = 3127 ✓

5STEP 5

소수 3 개면 최소 53³ = 148,877, 더 작은 두 소수 곱은 금지된 53 × 53 뿐이라 3127 이 최소 — 보기 (A).

53³ = 148,877 ≫ 3127, 53 × 59 = 3127 → (A)

정답

hspace{.05in}3127

3127 을 직접 인수분해해 확인합시다. 3127 ÷ 53 = 59 로 떨어지고 59 는 소수이므로 3127 = 53 × 59 — 서로 다른 두 소수의 곱이고 모두 50 이상, 제곱수도 아니고 소수도 아닙니다. 네 조건이 모두 통과합니다. 크기 감각도 맞습니다 — 두 소수가 모두 50 이상이라면 곱은 적어도 50 × 50 = 2500 부근이어야 하는데 3127 은 그 바로 위 값으로, 가장 작은 허용 소수 두 개를 쓴 결과로 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해 추론만 있으면 풀 수 있어요 — 허용 소수를 나열하고, 가장 작은 두 개를 곱한 뒤 조건만 확인하면 끝!

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