경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #18
학년 6 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"50 미만 소인수가 없는 가장 작은 정수" 는 도구 #2(빠짐없이 나열하기)의 전형적인 무대입니다. 허용되는 소수 (53, 59, 61, …)를 순서대로 나열하고, 그 소수들로 만들 수 있는 곱을 작은 순서대로 적으면 됩니다. N 이 합성수여야 하므로 후보는 53 × 53, 53 × 59, 53 × 61, … 처럼 차례대로 검토하면 충분합니다. 객관식이므로 도구 #3(가능성 지우기)로 마무리합니다 — 유효한 후보가 보기 중 하나와 맞으면 더 작은 보기들은 직접 확인해 제거하면 됩니다.
쓸 수 있는 소수 나열하기
조건 (iv) 때문에 쓸 수 있는 소수는 53, 59, 61, 67 부터 시작합니다 (51, 57은 소수 아님).
50 대의 수에서 소수와 합성수를 구별하는 것은 4학년 "인수와 소수" 그대로입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List소수 두 개 곱해 후보 만들기
N 은 합성수이므로 작은 소수부터 곱해 후보 53 × 53, 53 × 59, 53 × 61, … 순으로 검토합니다.
가장 작은 소인수부터 합성수를 조립해 보는 것은 6학년 소인수분해 추론입니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List완전제곱수 버리기
첫 후보 53 × 53 = 2809 는 제곱수라 소인수가 커도 조건 (iii)에 걸려 탈락합니다.
p × p = p²을 제곱수로 알아보는 것은 6학년 지수 정의 그대로입니다.
6.EE.A.1Eliminate Possibilities다음 후보 검사하기
다음 후보 53 × 59 = 3127 은 양수·합성수, 소인수 53과 59가 서로 달라 제곱수 아님, 둘 다 50 이상 — 네 조건 통과.
소인수분해 53¹ · 59¹을 읽고 "합성수이지만 제곱수는 아님" 을 확인하는 것은 6학년 인수 추론의 핵심입니다.
6.NS.B.4Make A Systematic List더 작은 수 없음 확인하기
소수 3 개면 최소 53³ = 148,877, 더 작은 두 소수 곱은 금지된 53 × 53 뿐이라 3127 이 최소 — 보기 (A).
소인수분해를 비교해서 더 작은 합성수를 배제하는 것은 6학년 인수·배수 추론입니다.
합성수이고, 완전제곱수가 아니며, 모든 소인수가 50 이상인 수 중 가장 작은 것은 50 이상인 가장 작은 서로 다른 두 소수의 곱이어야 한다.
▸ 왜?
조건을 만족하는 수는 합성수이므로 소인수 둘 이상의 곱이고, 조건 (iv)에 따라 그 소인수는 모두 50 이상이어야 한다.
▸ 왜?
1보다 큰 모든 정수는 오직 한 가지 방법으로 소수의 곱으로 갈라지고, '합성수'는 그 수가 소수 하나가 아니라는 뜻이므로 그 소인수분해에는 소인수가 적어도 둘 있다.
▸ 왜?
그런 곱들 중 가장 작은 것은 소인수를 되도록 적게 쓰고 허용된 가장 작은 소수들을 고른 것인데, 소인수를 하나 더 넣거나 소수를 더 큰 것으로 바꾸면 값이 곱해져 커질 뿐이기 때문이다.
▸ 왜?
더 큰 수를 곱하거나 1보다 큰 인수를 하나 더 곱하면 전체에 같은 크기 묶음이 더 쌓이므로 곱은 커질 수밖에 없다.
▸ 왜?
그 가장 작은 두 소수는 한 소수를 두 번 쓴 것이 아니라 서로 다른 두 소수여야 하는데, 한 소수를 인수로 두 번 쓰면 그 소수의 제곱이 되고 조건이 완전제곱수를 금지하기 때문이다.
▸ 왜?
같은 소수를 인수로 두 번 쓰는 것은 그 소수의 같은 묶음 두 개를 만드는 것이고, 이는 곧 그 소수를 자기 자신과 곱한 것 — 제곱이다.
이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해 추론만 있으면 풀 수 있어요 — 허용 소수를 나열하고, 가장 작은 두 개를 곱한 뒤 조건만 확인하면 끝!
- 쓸 수 있는 소수 나열하기
- 소수 두 개 곱해 후보 만들기
- 완전제곱수 버리기
- 다음 후보 검사하기
- 더 작은 수 없음 확인하기
가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.