AMC 8 · 2012 · #19

학년 6 algebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

systems-of-equationslinear-equations-two-varlogical-deduction convert-to-algebraidentify-subproblems ↑ 선수 지식: linear-equations-one-varmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

병 안에는 빨강, 초록, 파랑 구슬만 들어 있습니다. 세 가지 단서가 주어집니다 — "6 개만 빼면 모두 빨강", "8 개만 빼면 모두 초록", "4 개만 빼면 모두 파랑." 병에 들어 있는 구슬의 총 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}6$

(B)

$hspace{.05in}8$

(C)

$hspace{.05in}9$

(D)

$hspace{.05in}10$

(E)

$hspace{.05in}12$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기

단서들은 모두 "여집합" 으로 적혀 있습니다 — "6 개만 빼면 모두 빨강" 은 빨강의 개수가 아니라 "빨강이 아닌 것" 의 개수가 6 이라는 뜻입니다. 도구 #16(관점 바꾸기) 은 이렇게 "k 개만 빼면 모두 X" 를 "X 가 아닌 것의 개수 = k" 로 다시 읽는 도구입니다. 그 다음 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 T, r, g, b 에 이름을 붙이고 세 여집합 식을 더하면, 왼쪽은 3T - (r+g+b) = 3T - T = 2T, 오른쪽은 6 + 8 + 4 = 18 이 되어 T 가 한 줄에 나옵니다.

1STEP 1

각 단서를 여집합으로 읽으면 "6 개만 빼면 모두 빨강" 은 빨강 아닌 게 6 개, 즉 T - r = 6. 나머지도 같은 방식.

T - r = 6, T - g = 8, T - b = 4

2STEP 2

세 여집합 식을 더하면 왼쪽은 3T - (r + g + b), 오른쪽은 6 + 8 + 4 = 18.

(T - r) + (T - g) + (T - b) = 6 + 8 + 4

3STEP 3

r + g + b = T 이므로 왼쪽은 3T - T = 2T, 따라서 2T = 18, T = 9.

3T - T = 18 → 2T = 18 → T = 9 → (C)

정답

hspace{.05in}9

각 색의 개수를 되살려 봅니다 — r = T - 6 = 3, g = T - 8 = 1, b = T - 4 = 5. 합은 3 + 1 + 5 = 9. 단서도 확인 — 빨강이 아닌 것 = 1 + 5 = 6 ✓, 초록이 아닌 것 = 3 + 5 = 8 ✓, 파랑이 아닌 것 = 3 + 1 = 4 ✓. 세 단서가 모두 맞고, 개수가 모두 0 이상의 정수이므로 T = 9 는 일관됩니다.

💡핵심 정리

문제에 "k 개만 빼면" 이 나오면 "반대쪽" 을 세고 있는 거예요 — 그렇게 적어서 더하면 총 개수가 한 줄에 나옵니다.

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