AMC 8 · 2012 · #22

학년 6 arithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

mean-median-mode-rangesystematic-enumerationbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumeration ↑ 선수 지식: mean-median-mode-range

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

집합 R 은 서로 다른 정수 9 개로 이루어져 있고, 그중 여섯 개는 {2, 3, 4, 6, 9, 14} 입니다. 나머지 세 개는 미지수입니다. R 의 중앙값(median)이 가질 수 있는 값의 개수를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}4$

(B)

$hspace{.05in}5$

(C)

$hspace{.05in}6$

(D)

$hspace{.05in}7$

(E)

$hspace{.05in}8$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 더 쉬운 문제로 줄이기

세 미지수를 고르는 모든 경우를 한꺼번에 따지지 말고, 먼저 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 로 양 끝 — "중앙값을 가장 작게 만들 수 있는 경우" 와 "가장 크게 만들 수 있는 경우" 만 풀어 봅니다. 범위가 잡히면 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 그 사이 정수 하나하나에 대해 실제로 만들 수 있는 배열을 보여 줍니다. 9 개 수의 중앙값은 항상 정렬 후 5 번째 수이므로, 문제는 "세 미지수를 어디에 끼워 넣으면 5 번째 자리에 어떤 값이 올 수 있는가" 로 줄어듭니다.

1STEP 1

정수 9 개를 오름차순으로 늘어놓으면 중앙값은 5 번째 수이므로, 그 자리에 올 수 있는 정수를 모두 찾습니다.

a₁ ＜ a₂ ＜ … ＜ a₉ → 중앙값 = a₅

2STEP 2

세 미지수를 모두 2 보다 작게 밀어 넣으면 알려진 여섯 수가 위로 올라가고, 5 번째 자리는 3 — 가능한 최소 중앙값입니다.

x, y, z_ ＜ 2, 2, 3, 4, 6, 9, 14 → 중앙값 = 3

3STEP 3

세 미지수를 모두 14 보다 크게 밀어 넣으면 알려진 여섯 수가 아래로 내려가고, 5 번째 자리는 9 — 가능한 최대 중앙값입니다.

2, 3, 4, 6, 9, 14, x, y, z_ ＞ 14 → 중앙값 = 9

4STEP 4

두 끝 사이의 모든 정수가 가능합니다: 3 부터 9 까지 각 값마다 세 미지수를 알맞은 틈에 끼워 예시 배열을 하나씩 만듭니다.

3: {-2,-1,0} → -2,-1,0,2,3,4,6,9,14 ; 4: {-1,0,1} → -1,0,1,3,4,6,9,14,? ; 5: {0,1,5} → 0,1,2,4,5,6,9,14,… ; 6: {0,1,7} → 0,1,2,4,6,7,9,14,… ; 7: {7,10,11} → 2,3,4,6,7,9,10,11,14 ; 8: {8,10,11} → 2,3,4,6,8,9,10,11,14 ; 9: {15,16,17} → 2,3,4,6,9,14,15,16,17

5STEP 5

3 부터 9 까지 연속된 정수를 셉니다: 9 - 3 + 1 = 7 가지입니다.

9 - 3 + 1 = 7 → (D)

정답

hspace{.05in}7

9 개 수의 중앙값은 자리가 고정(5 번째)되어 있고, 알려진 여섯 수 {2,3,4,6,9,14} 가 이미 넓은 범위를 차지하고 있어서, 세 미지수는 사실상 "슬라이더" 처럼 작동합니다. 모두 왼쪽으로 밀면 중앙값이 3, 모두 오른쪽으로 밀면 9 — 그 사이는 미지수를 끼워 넣으며 매끄럽게 옮겨 갑니다. 연속된 7 개 정수(3 ∼ 9) 라는 답은 선택지 안에 있고, 양 끝 계산과도 정확히 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "정렬한 자료의 한가운데 값 = 중앙값" 정의만 알면 풀 수 있어요!

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