AMC 8 · 2012 · #25

학년 6 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Nested Frame / Concentric Difference

pythagorean-theoremarea-trianglesarea-rectanglesspatial-visualization area-differenceidentify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

넓이 5 인 바깥 정사각형 안에 넓이 4 인 (기울어진) 정사각형이 들어 있고, 안쪽 정사각형의 네 꼭짓점이 각각 바깥 정사각형의 한 변 위에 놓여 있습니다. 바깥 정사각형의 한 변은 길이 a, b 두 구간으로 나뉩니다. ab 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}\frac{1}5$

(B)

$hspace{.05in}\frac{2}5$

(C)

$hspace{.05in}\frac{1}2$

(D)

$hspace{.05in}1$

(E)

$hspace{.05in}4$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

전형적인 "정사각형 속 정사각형" 그림입니다. 도구 #1(그림 그리기)로 네 모서리에 생기는 직각삼각형 — 두 다리가 각각 a, b 인 — 을 눈으로 확인하고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "바깥 정사각형 = 안쪽 정사각형 + 네 모서리 삼각형" 이라는 단순한 넓이 식으로 바꿉니다. 네 삼각형의 넓이 합은 5 - 4 = 1. 이 경로는 피타고라스나 (a+b)² 전개를 쓰지 않아 객관식 기하 문제에서 가장 짧은 풀이입니다.

1STEP 1

바깥 정사각형 넓이 5 → 한 변 √(5), a, b 로 나뉘어 a + b = √(5).

a + b = √(5)

2STEP 2

잘려 나가는 각 모서리는 이웃한 두 변에 놓인 다리 a, b 를 가진 직각삼각형입니다.

두 다리 = a, b, 직각은 바깥 정사각형의 모서리에 위치

3STEP 3

네 삼각형은 두 정사각형 사이를 채우므로 넓이 합은 두 넓이의 차 5 - 4 = 1 입니다.

네 삼각형 넓이 합 = 5 - 4 = 1

4STEP 4

각 직각삼각형 넓이는 $\frac{1}{2}$ ab, 합동인 네 개의 합은 2ab 입니다.

4 ×

\frac{1}{2}

ab = 2ab

5STEP 5

두 넓이 표현을 같다고 놓으면 2ab = 1, 따라서 ab = $\frac{1}{2}$ — 정답 (C).

2ab = 1 → ab =

\frac{1}{2}

→ (C)

정답

hspace{.05in}

\frac{1}{2}

구체적인 수로 확인해 봅시다. a + b = √(5) ≈ 2.236, ab =

\frac{1}{2}

인 두 수는 t² - √(5) t +

\frac{1}{2}

= 0 의 두 근, 즉 t =

\frac{√(5) ± √(3)}{2}

이므로 a ≈ 0.252, b ≈ 1.984. 둘 다 양수이고 길이 √(5) 인 변 안에 잘 들어맞으며, 이 다리들로 만든 직각삼각형의 빗변은 √(a² + b²) = √((a+b)² - 2ab) = √(5 - 1) = 2 — 정확히 안쪽 정사각형의 한 변과 같습니다. 모두 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 넓이 추론만 알면 풀 수 있어요 — 바깥 정사각형을 "안쪽 정사각형 + 네 모서리 직각삼각형" 으로 쪼개면 한 줄 방정식으로 끝납니다.

비슷한 유형 더 풀어보기