AMC 8 · 2012 · #7

학년 6 arithmetic

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mean-median-mode-rangelinear-equations-one-varbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumerateconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

이사벨라는 만점이 100 점인 시험 네 개를 봅니다. 네 시험 평균을 95 점으로 만드는 게 목표예요. 첫 두 시험 점수는 97 점과 91 점이었고, 세 번째 시험 점수를 본 뒤에도 목표가 여전히 가능하다는 걸 알았습니다. 세 번째 시험에서 받을 수 있었던 가장 낮은 점수는 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$hspace{.05in}90$

(B)

$hspace{.05in}92$

(C)

$hspace{.05in}95$

(D)

$hspace{.05in}96$

(E)

$hspace{.05in}97$

AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 거꾸로 풀기

최종 결과(평균 = 95)에서 출발해 세 번째 점수를 거슬러 올라가 구하는 구조라 도구 #11(거꾸로 풀기)가 딱 맞습니다. 평균을 필요한 총합(380)으로 바꾸고, 이미 안 두 점수를 떼어내면 T₃ + T₄ 의 최소값이 보입니다. 그다음 핵심은 "T₃ 의 최솟값을 찾으려면 T₄ 를 최댓값으로 밀어라" 라는 관점 전환 — 이게 도구 #16(관점 바꾸기) 입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 (a) 네 시험에 필요한 총점, (b) 1·2번을 빼고 남는 양, (c) T₄ 가 최대일 때 T₃ 의 최솟값 세 조각으로 깔끔하게 분리해 줍니다.

1STEP 1

거꾸로 풀기 — 네 시험 평균 95 는 네 점수의 합이 최소 95 × 4 = 380 이어야 한다는 뜻이에요.

필요한 총점 = 95 × 4 = 380

2STEP 2

이미 아는 두 점수를 빼면, 3번·4번 시험이 함께 채워야 할 점수는 380 - 188 = 192 예요.

T₃ + T₄ ≥ 380 - 97 - 91 = 380 - 188 = 192

3STEP 3

관점을 바꿔요 — 세 번째 점수를 줄이려면 네 번째를 최대로 밀면 되고, 한 시험의 최댓값은 100 점입니다.

T₄ ≤ 100 → T₄ = 100 로 둡니다

4STEP 4

네 번째가 100 이면 세 번째는 T₃ + 100 ≥ 192 를 만족해야 하므로 T₃ ≥ 92 — 답 (B).

T₃ + 100 ≥ 192 → T₃ ≥ 92 → (B)

정답

hspace{.05in}92

확인해 봅시다. T₃ = 92 이고 T₄ = 100 이라면 네 점수는 97, 91, 92, 100 으로 합이 정확히 380 — 평균 95 에 딱 맞습니다. 만약 T₃ = 91 이었다면 T₄ = 100 이어도 97 + 91 + 91 + 100 = 379 ＜ 380 이라 평균 95 가 불가능해져요. 따라서 92 가 정말로 가능한 가장 낮은 3번 점수입니다. 답 (B) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 "평균 = 총합 ÷ 개수" 와 간단한 부등식만 알면 풀려요 — 한쪽 점수를 최대로 밀면 다른 쪽의 최소가 보입니다!

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