경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2012 · #7
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2012 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
최종 결과(평균 = 95)에서 출발해 세 번째 점수를 거슬러 올라가 구하는 구조라 도구 #11(거꾸로 풀기)가 딱 맞습니다. 평균을 필요한 총합(380)으로 바꾸고, 이미 안 두 점수를 떼어내면 T₃ + T₄의 최소값이 보입니다. 그다음 핵심은 "T₃의 최솟값을 찾으려면 T₄를 최댓값으로 밀어라" 라는 관점 전환 — 이게 도구 #16(관점 바꾸기)입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 풀이를 (a) 네 시험에 필요한 총점, (b) 1·2번을 빼고 남는 양, (c) T₄가 최대일 때 T₃의 최솟값 세 조각으로 깔끔하게 분리해 줍니다.
필요한 총점 구하기
거꾸로 풀기 — 네 시험 평균 95는 네 점수의 합이 최소 95 × 4 = 380 이어야 한다는 뜻이에요.
평균은 "총합 ÷ 개수" 이므로 거꾸로 곱하면 총합이 나옵니다 — 6학년 통계 그대로입니다.
6.SP.B.5Work Backwards이미 받은 두 점수 빼기
이미 아는 두 점수를 빼면, 3번·4번 시험이 함께 채워야 할 점수는 380 - 188 = 192 예요.
네 점수를 "이미 안 점수" 와 "아직 모르는 점수" 로 나누는 게 도구 #7의 핵심 동작이고, 남는 뺄셈은 4학년 다자릿수 계산입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems네 번째 점수 100으로 놓기
관점을 바꿔요 — 세 번째 점수를 줄이려면 네 번째를 최대로 밀면 되고, 한 시험의 최댓값은 100 점입니다.
T₃를 직접 줄이는 대신 상대편 T₄를 최대로 — 이렇게 시선을 옮기는 게 도구 #16(관점 바꾸기)입니다. T₄ ≤ 100은 간단한 부등식 제약입니다.
세 번째 시험 점수를 가능한 한 낮추려면, 네 번째 시험 점수를 채점 규칙이 허용하는 만큼 최대한 높여야 한다.
▸ 왜?
세 번째와 네 번째 점수는 합쳐서 192점이라는 고정된 하한을 넘어야 하므로 서로 맞바꿈 관계에 있다: 네 번째 점수가 채우는 만큼은 세 번째 점수가 더 이상 채우지 않아도 되는 점수이고, 네 번째가 최대일 때에만 세 번째가 최저로 내려갈 수 있다.
▸ 왜?
필요한 192점은 빈틈도 겹침도 없이 네 번째 점수의 몫과 세 번째 점수의 몫으로 나뉘므로, 두 몫은 언제나 같은 고정된 192로 다시 더해진다 — 한 몫을 올리면 다른 몫은 그만큼 내려가야 한다.
세 번째 점수 구하기
네 번째가 100이면 세 번째는 T₃ + 100 ≥ 192를 만족해야 하므로 T₃ ≥ 92 — 답 (B).
양변에서 100을 빼는 마지막 "거꾸로" 동작이 3번 시험의 최저점을 곧장 알려 줍니다.
6.EE.B.8Work Backwards이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 "평균 = 총합 ÷ 개수" 와 간단한 부등식만 알면 풀려요 — 한쪽 점수를 최대로 밀면 다른 쪽의 최소가 보입니다!
- 필요한 총점 구하기
- 이미 받은 두 점수 빼기
- 네 번째 점수 100으로 놓기
- 세 번째 점수 구하기
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