AMC 8 · 2013 · #10

학년 6 number-theory

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Linear Rate Accumulation

lcmgcdprime-factorization identify-subproblems ↑ 선수 지식: prime-factorizationmultiplesfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

\frac{<span class="mk-c">lcm(180, 594)</span>}{<span class="mk-c">gcd(180, 594)</span>}

, 즉 180과 594의 최소공배수 대 최대공약수의 비를 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

110

(B)

165

(C)

330

(D)

625

(E)

660

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 문제 안에는 세 가지 작은 문제가 들어 있습니다 — GCF 구하기, LCM 구하기, 그리고 둘을 나누기. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 단계를 분리하면, 두 수를 한 번씩만 소인수분해해도 세 문제가 모두 풀립니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 는 보조로 씁니다 — 12와 18 같은 작은 수로 먼저 시험해 보면 lcm/gcd = (a · b)/gcd² 라는 깔끔한 지름길이 보이고, 이걸 마지막 검산에 쓸 수 있습니다. 도구 #13(대수) 으로 가지 않는 이유는, 모든 단계가 6학년이 직접 확인할 수 있는 작은 산수 동작으로 끝나기 때문입니다.

1STEP 1

작은 문제 1: 180 을 소인수분해하면 2² · 3² · 5.

180 = 2 · 90 = 2 · 2 · 45 = 2² · 9 · 5 = 2² · 3² · 5

2STEP 2

작은 문제 2: 594 도 같은 방식으로 분해하면 2 · 3³ · 11.

594 = 2 · 297 = 2 · 3 · 99 = 2 · 3 · 3 · 33 = 2 · 3³ · 11

3STEP 3

작은 문제 3: 공통 소수 2, 3 의 작은 지수만 곱하면 GCF = 2¹ · 3² = 18.

gcd(180, 594) = 2¹ · 3² = 2 · 9 = 18

4STEP 4

작은 문제 4: 한쪽에만 있는 5, 11 까지 넣고 큰 지수를 택하면 LCM = 2² · 3³ · 5 · 11.

lcm(180, 594) = 2² · 3³ · 5 · 11

5STEP 5

작은 문제 5: 같은 밑끼리 지수를 빼며 나누면 2 · 3 · 5 · 11 만 남습니다.

\frac{lcm}{gcd}

\frac{2² · 3³ · 5 · 11}{2¹ · 3²}

= 2²⁻¹ · 3³⁻² · 5 · 11 = 2 · 3 · 5 · 11

6STEP 6

네 소수를 곱하면 2 · 3 · 5 · 11 = 330 → (C).

2 · 3 · 5 · 11 = 6 · 55 = 330 → (C)

정답

330

lcm(a, b) · gcd(a, b) = a · b 라는 성질로 따로 검산해 봅시다:

\frac{lcm}{gcd}

\frac{a · b}{gcd²}

\frac{180 · 594}{18²}

\frac{180}{18}

\frac{594}{18}

= 10 · 33 = 330. 서로 다른 두 방법이 같은 330 을 주므로 답 (C) 는 확실합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 소인수분해만으로 풀 수 있어요 — 두 수를 한 번씩 분해해 두면 GCF 와 LCM 을 같은 인수표에서 그대로 읽을 수 있습니다.

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