AMC 8 · 2013 · #15

학년 6 algebraarithmetic

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Successive Multiplicative Steps

exponentslinear-equations-one-varperfect-squares identify-subproblemsguess-and-check ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

세 개의 식에 각각 지수가 하나씩 숨어 있습니다: 3^p + 3⁴ = 90, 2^r + 44 = 76, 5³ + 6^s = 1421. p, r, s 를 구한 뒤 곱 p · r · s 를 계산하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

세 식은 공유 변수가 없으니 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)이 정답 — 각 식을 독립적으로 풀고 마지막에 곱하면 됩니다. 각 식 안에서는 한쪽 변에 거듭제곱만 남기고 "이 밑(base)의 몇 제곱이 이 수가 되지?" 를 물어보면 됩니다. b¹, b², b³, … 을 순서대로 올려 가며 목표 값과 맞춰 보는 것이 도구 #6(추측하고 확인하기)의 작은 사다리 버전입니다.

1STEP 1

90 에서 3⁴ = 81 을 빼면 3^p = 9 = 3² 이므로 p = 2.

3^p + 81 = 90 → 3^p = 9 = 3² → p = 2

2STEP 2

76 에서 44 를 빼면 2^r = 32 = 2⁵ 이므로 r = 5.

2^r + 44 = 76 → 2^r = 32 = 2⁵ → r = 5

3STEP 3

1421 에서 5³ = 125 를 빼면 6^s = 1296 이고, 6⁴ = 1296 이므로 s = 4.

125 + 6^s = 1421 → 6^s = 1296. 확인: 6² = 36, 6³ = 216, 6⁴ = 1296. 따라서 s = 4.

4STEP 4

세 지수를 곱하면 2 × 5 × 4 = 40, 정답 (B).

p · r · s = 2 × 5 × 4 = 40 → (B)

정답

값을 대입해 검산합니다: 3² + 3⁴ = 9 + 81 = 90 ✓, 2⁵ + 44 = 32 + 44 = 76 ✓, 5³ + 6⁴ = 125 + 1296 = 1421 ✓. 곱 2 · 5 · 4 = 40 은 선택지 (B) 와 일치하고, 세 양의 정수 지수의 곱이 될 수 있는 유일한 보기입니다.

💡핵심 정리

식이 셋이라도 방법은 하나: 상수를 떼어 내고 "이 밑의 몇 제곱이 이 수일까?" 만 물으면 끝 — 모두 6학년 지수 실력입니다.

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