AMC 8 · 2013 · #23

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

pythagorean-theoremarea-circlesperimeter identify-subproblems ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-circlesperimeter

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

직각삼각형 △ ABC 의 직각은 꼭짓점 B 에 있습니다. 세 변 각각이 바깥쪽으로 그린 반원의 지름입니다. AB 위의 반원의 넓이가 8π, AC 위의 반원의 호의 길이가 8.5π 일 때, BC 위의 반원의 반지름을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

7.5

(C)

(D)

8.5

(E)

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

그림이 등장하는 문제라 도구 #1(그림 그리기) 로 직각삼각형과 세 반원을 빠르게 스케치하면 "반원의 측정값 → 반지름 → 지름 → 삼각형 변의 길이" 라는 연결 고리가 한눈에 보입니다. 그다음 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 일을 세 조각으로 나눕니다: (1) 넓이로부터 AB 복원, (2) 호 길이로부터 AC 복원, (3) 피타고라스 정리로 BC 를 구해 절반을 취하기. r² = 16 수준의 계산만 있으면 충분해서 별도의 대수 도구는 필요 없습니다.

1STEP 1

각 변에 반원을 얹은 직각삼각형을 그립니다. 변이 곧 지름이므로 변의 길이 = 2r 입니다.

AB = 2r_AB, AC = 2r_AC, BC = 2r_BC

2STEP 2

반원 넓이 $\frac{1}{2}$ π r² = 8π 에서 r_AB = 4, 따라서 AB = 8.

\frac{1}{2}

π r_AB² = 8π → r_AB² = 16 → r_AB = 4 → AB = 8

3STEP 3

반원 호 길이 π r = 8.5π 에서 r_AC = 8.5, 따라서 AC = 17.

π r_AC = 8.5π → r_AC = 8.5 → AC = 17

4STEP 4

AC 가 빗변이므로 8² + BC² = 17², 8-15-17 수 묶음으로 BC = 15.

8² + BC² = 17² → BC² = 289 - 64 = 225 → BC = 15

5STEP 5

BC 가 지름이므로 반으로 나누면 r_BC = $\frac{15}{2}$ = 7.5.

r_BC =

\frac{BC}{2}

\frac{15}{2}

= 7.5 → (B)

정답

7.5

변 길이가 서로 맞는지 점검합니다: 8² + 15² = 64 + 225 = 289 = 17² ✓ — 유명한 8-15-17 직각삼각형. BC 위 반원의 반지름은 나머지 두 반원 사이의 크기여야 자연스러운데, r_AB = 4, r_BC = 7.5, r_AC = 8.5 로 4 ＜ 7.5 ＜ 8.5 가 잘 성립합니다. 답 (B) 는 15 의 정확히 절반으로, 예상 범위에 들어옵니다.

💡핵심 정리

각 변이 지름이라서 반원의 측정값(넓이든 호 길이든)이 곧장 삼각형의 변 하나를 알려 줘요 — 마지막은 피타고라스 정리가 마무리. 7학년 원 공식 두 개 위에 얹은 깔끔한 8학년 아이디어입니다.

비슷한 유형 더 풀어보기