AMC 8 · 2013 · #25

학년 7 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

arc-measureperimeterarea-circles identify-subproblemscasework ↑ 선수 지식: perimeterarc-measurefraction-arithmetic

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

지름 4 인치(반지름 r = 2)인 공이 미끄러지지 않고, 반지름이 각각 R₁ = 100, R₂ = 60, R₃ = 80 인치인 반원 세 개로 이어진 트랙 위를 굴러갑니다. 공은 트랙에서 절대 떨어지지 않습니다. A 에서 B 까지 가는 동안 공의 중심이 (접점이 아니라) 이동한 총 거리를 구하는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$238\pi$

(B)

$240\pi$

(C)

$260\pi$

(D)

$280\pi$

(E)

$500\pi$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

핵심은 한 장의 그림으로 끝납니다 — 공이 계곡에 놓인 모습과 언덕 위에 놓인 모습을 나란히 그려 보면, 계곡에서는 중심이 그리는 반원이 작아지고(반지름 R - 2), 언덕에서는 커진다(반지름 R + 2)는 ± r 규칙이 한눈에 보입니다 — 이게 도구 #1(그림 그리기) 입니다. 그 다음은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 트랙을 세 개의 독립된 반원으로 나누어, 각각 π × 반지름 으로 중심 경로 길이를 구하고 합치면 됩니다. 대수도, 어려운 기하도 필요 없고 원 둘레 공식 한 가지를 세 번 쓰는 것뿐입니다.

1STEP 1

공을 그려 보면, 중심 경로 반지름은 계곡에서 R - r, 언덕에서 R + r 입니다.

계곡: 중심 경로 반지름 = R - r, 언덕: 중심 경로 반지름 = R + r

2STEP 2

1번 호 (R₁ = 100) 는 계곡이라 중심은 반지름 100 - 2 = 98 인 반원을 그려 길이가 98π 입니다.

L₁ = π × (100 - 2) = 98π

3STEP 3

2번 호 (R₂ = 60) 는 언덕이라 중심이 트랙 위로 떠서 경로 반지름은 60 + 2 = 62, 길이가 62π 입니다.

L₂ = π × (60 + 2) = 62π

4STEP 4

3번 호 (R₃ = 80) 는 다시 계곡이라 R - r 을 써서 경로 반지름은 80 - 2 = 78, 길이가 78π 입니다.

L₃ = π × (80 - 2) = 78π

5STEP 5

세 중심 경로 길이 L₁ + L₂ + L₃ 을 더하면 총 이동 거리가 됩니다.

L₁ + L₂ + L₃ = 98π + 62π + 78π = (98 + 62 + 78)π = 238π → (A)

정답

238π

트랙 자체의 길이와 비교해 봅시다. 트랙 세 반원의 길이 합은 100π + 60π + 80π = 240π. 우리 답 238π 와 차이는 2π 인데, 이는 정확히 (-2 + 2 - 2)π — 계곡·언덕·계곡 순서로 ± r 보정을 더한 값입니다(r = 2). 계곡이 두 번, 언덕이 한 번이라 -r 보정이 한 번 더 우세해서 중심 경로가 트랙보다 2π 만큼 짧아졌습니다. 크기와 부호 모두 말이 되고, 선택지 (A) 와도 일치합니다.

💡핵심 정리

그림 하나로 ± r 규칙만 잡아내면, 이 AMC 8 문제는 7학년 원 둘레 공식을 세 번 쓰는 것뿐입니다!

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