경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2013 · #3

학년 4 arithmeticpattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

pattern-recognitionsequences-arithmeticmental-arithmetic pattern-recognitionidentify-subproblems ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticorder-of-operations

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문제

4 · (-1 + 2 - 3 + 4 - 5 + 6 - 7 + … + 1000)의 값을 구하세요. 괄호 안의 부호는 1부터 1000까지 -, +, -, +, … 로 번갈아 나타납니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

-10

(B)

(C)

(D)

500

(E)

2000

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

1000 개 항을 하나씩 더해 가는 건 불가능합니다 — 구조를 봐야 합니다. 부호가 -, +, -, +, … 로 두 칸씩 깔끔하게 반복되니, 도구 #5(패턴 찾기)가 딱 맞습니다. 즉, 두 항씩 묶으면 같은 값이 반복될 가능성이 큽니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)은 그 아이디어를 구체화 — S 를 500 개의 작은 부분 문제(각각 "음의 홀수 + 다음 짝수" 쌍)로 나누고, 하나만 풀어서 나머지에 그대로 재사용합니다. S 가 정해지면 마지막 4 · S 는 한 줄짜리 곱셈입니다.

1STEP 1

항을 둘씩 짝짓기

1000 개 항을 앞에서부터 두 개씩 묶으면 각 쌍은 (음의 홀수)+(다음 짝수).

S = (-1 + 2) + (-3 + 4) + (-5 + 6) + … + (-999 + 1000)

거대한 합 하나를 두 수씩의 작은 합 여러 개로 쪼개는 건 도구 #7의 전형적인 동작이고, 부호 패턴이 쌍과 정확히 맞아떨어져서 가능합니다.

번갈아 더하고 빼는 합 -1+2-3+4-…+1000을 연속한 두 항씩 묶으면 500으로 줄어든다.

▸ 왜?

1000개의 항은 어떻게 묶어 더해도 되므로, (-1+2)+(-3+4)+…+(-999+1000)처럼 괄호로 묶어도 전체 합은 변하지 않는다.

▸ 왜?

여러 수를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치고 나머지를 나중에 더해도 언제나 같은 합에 이른다.

덧셈의 결합법칙세 무더기를 더할 때 어느 둘을 먼저 합치든 결과는 같다.

▸ 왜?

각 괄호(음의 홀수 더하기 바로 다음 짝수)는 1이 되는데, 짝수가 바로 아래 홀수보다 딱 1 크기 때문에 그 홀수만큼 빼면 정확히 1이 남는다.

▸ 왜?

홀수를 빼는 것은 짝수 안에 들어 있던 같은 홀수만큼을 되돌려 없애므로, 그 부분은 0으로 상쇄된다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

▸ 왜?

홀수 부분이 0으로 상쇄되고 나면 남는 것은 여분의 1뿐이며, 0에 더해도 그대로 1로 남는다.

덧셈의 항등원 (0)0을 더하면 아무것도 안 더한 것이라 수가 그대로 남는다.

▸ 왜?

괄호는 정확히 500개인데, 1000개의 항을 두 개씩 묶으면 1000 ÷ 2 = 500개의 같은 묶음이 되기 때문이다.

▸ 왜?

전체를 정해진 크기의 같은 묶음으로 나누면 묶음의 개수는 전체를 그 크기로 나눈 값과 같다 — 여기서는 2개짜리 묶음 500개가 1000을 다시 이룬다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

그 500개의 1을 더하면 500이 되는데, 1이 든 같은 묶음 500개는 500 × 1이기 때문이다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

4.OA.A.3Identify Subproblems

2STEP 2

각 짝의 값 확인하기

처음 몇 쌍을 계산하면 모두 같은 값: -(2k-1) + 2k = 1.

-1 + 2 = 1, -3 + 4 = 1, -5 + 6 = 1, …, -999 + 1000 = 1

3STEP 3

짝의 개수 세기

쌍의 개수: 1000 개 ÷ 2 = 500 쌍, 즉 1이 500 번 더해집니다.

쌍의 개수 = 1000/2 = 500

4STEP 4

짝을 더하고 4를 곱하기

500 개의 1을 더해 S = 500, 괄호 밖의 4를 곱하면 4 · 500 = 2000.

S = 500 × 1 = 500, 4 · S = 4 × 500 = 2000 → (E)

정답

2000

확인: 1000 개 항이 500 개의 쌍으로 나뉘고 각 쌍이 +1 이므로 S = 500, 거기에 4를 곱하면 2000 — 선택지 (E)와 일치합니다. 모든 쌍이 양수였으니 답이 양수인 점도 자연스럽고, 500 개 쌍의 합을 4 배로 키운 값이라 답이 선택지 중 가장 큰 2000이 되는 것도 합당합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 4학년 "패턴 찾기" 만으로 풀려요 — 두 개씩 묶어서 각 쌍이 1 인 걸 알아내고, 마지막에 곱하면 끝!

항을 둘씩 짝짓기
각 짝의 값 확인하기
짝의 개수 세기
짝을 더하고 4를 곱하기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

항을 둘씩 짝짓기

각 짝의 값 확인하기

짝의 개수 세기

짝을 더하고 4를 곱하기

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