경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2015 · #18

학년 4 algebrapattern

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

sequences-arithmeticpattern-recognitionmean-median-mode-range identify-subproblemspattern-recognition ↑ 선수 지식: sequences-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

5 × 5 격자에 숫자가 채워져 있는데, 모든 행이 등차수열이고 모든 열도 등차수열입니다. 네 모서리만 보이고 — 왼쪽 위 1, 오른쪽 위 25, 왼쪽 아래 17, 오른쪽 아래 81 — 한가운데 칸에 X 라고 쓰여 있습니다. X 의 값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

빈칸 25 개를 한꺼번에 채우려 하면 막막합니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)을 쓰면 행·열 중 딱 세 군데만 보면 됩니다 — 1행 한가운데(1과 25 사이), 5행 한가운데(17과 81 사이), 그리고 그 두 값으로 3열 한가운데. 도구 #5(패턴 찾기)는 각 단계를 한 줄로 끝내는 비결을 알려 줍니다 — 항의 개수가 홀수인 등차수열에서는 가운데 항이 양 끝 항의 평균과 같습니다. 그래서 공차를 따로 구할 필요조차 없습니다.

1STEP 1

가운데가 평균인 규칙 찾기

항이 홀수인 등차수열에서는 가운데 항이 양 끝의 평균과 같아요.

가운데 항 = (첫째 항 + 마지막 항)/2

등차수열 항 몇 개를 직접 만들어 보고 가운데 = 평균을 발견하는 것은 4학년 "규칙을 만들고 규칙의 특징 찾기" 표준 그대로입니다.

항의 개수가 홀수인 등차수열에서 가운데 항은 첫째 항과 마지막 항의 평균과 같다.

▸ 왜?

첫째 항과 마지막 항을 더하면 정확히 가운데 항의 두 배가 된다.

▸ 왜?

마지막 항은 첫째 항에 공차만큼의 같은 걸음 네 번을 더한 것이고 가운데 항은 그 걸음 두 번을 더한 것이라, 첫째와 마지막의 합은 첫째 항 두 개에 걸음 네 번을 더한 것이 된다.

▸ 왜?

모든 항은 앞의 항에 같은 고정된 걸음을 더해 만들어지므로, 정해진 칸 수만큼 나아가는 것은 그 걸음을 그 횟수만큼 반복해 더하는 것과 같다.

곱셈은 같은 크기 묶음a 곱하기 b는 b가 든 같은 묶음 a개 — 같은 양을 반복해서 더하는 것이다.

▸ 왜?

가운데 항의 두 배는 (첫째 항에 걸음 두 번)을 두 벌 만든 것이고, 이를 펼치면 첫째 항 두 개에 걸음 네 번 — 양 끝이 만드는 합과 똑같은 값이 된다.

▸ 왜?

합을 두 배 하면 그 안의 각 조각이 두 배가 되므로, (첫째 항에 걸음 두 번)을 두 벌 하면 첫째 항 두 개와 걸음 네 번이 된다.

분배법칙(b와 c)를 a묶음 만든 것은 b를 a묶음, c를 a묶음 만든 것과 같다 — 묶음을 나눌 수 있다.

▸ 왜?

첫째와 마지막의 합도, 가운데 항의 두 배도 모두 첫째 항 두 개에 걸음 네 번이라는 같은 값으로 줄어드므로, 둘은 서로 같아야 한다.

같음의 추이성첫째가 둘째와 같고 둘째가 셋째와 같으면 첫째는 셋째와 같다.

▸ 왜?

양 끝의 합이 정확히 가운데 항의 두 배이므로, 그 합을 똑같이 둘로 나누면 가운데 항이 되돌아온다 — 2로 나누는 것은 2를 곱하는 것을 되돌리기 때문이다.

역연산뺄셈은 덧셈을, 나눗셈은 곱셈을 되돌린다 — 서로를 거꾸로 한다.

4.OA.C.5Look For A Pattern

2STEP 2

1행의 가운데 칸 구하기

1행은 1에서 25까지이므로 가운데 칸(3열)은 $\frac{1 + 25}{2}$ = 13.

1행 3열 = (1 + 25)/2 = 26/2 = 13

3STEP 3

5행의 가운데 칸 구하기

5행은 17에서 81까지이므로 가운데 칸은 $\frac{17 + 81}{2}$ = 49.

5행 3열 = (17 + 81)/2 = 98/2 = 49

4STEP 4

두 값을 평균 내어 X 구하기

3열은 13에서 49까지이므로 X = $\frac{13 + 49}{2}$ = 31 → (B).

X = (13 + 49)/2 = 62/2 = 31 → (B)

정답

3열의 공차로 검산해 봅시다. 13 에서 49까지 5 항이므로 공차 d =

\frac{49 - 13}{4}

= 9. 3열은 13, 22, 31, 40, 49가 되고, 셋째 항은 정확히 31입니다. 직관적으로도 네 모서리의 평균

\frac{1 + 25 + 17 + 81}{4}

= 31과 정확히 일치합니다 — 모든 행·열이 등차수열인 격자에서는 두 대각선이 중앙에서 만나므로, 중앙값이 네 모서리의 평균과 같아지기 때문입니다.

💡핵심 정리

5 × 5 격자라 커 보이지만, 결국 필요한 건 4학년짜리 한 가지 아이디어 — 등차수열의 가운데 항은 첫째·마지막 항의 평균과 같다 — 를 세 번 쓰는 것뿐이에요!

가운데가 평균인 규칙 찾기
1행의 가운데 칸 구하기
5행의 가운데 칸 구하기
두 값을 평균 내어 X 구하기

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가운데가 평균인 규칙 찾기

1행의 가운데 칸 구하기

5행의 가운데 칸 구하기

두 값을 평균 내어 X 구하기

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