경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2013 · #5
학년 6 arithmetic답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
문제가 두 개의 요약 통계량을 한 번에 비교하라고 하므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 "중앙값 구하기", "평균 구하기", "둘을 비교하기" 의 세 조각으로 나눕니다. 중앙값은 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 거의 다 해 줍니다 — 다섯 몸무게를 작은 수부터 큰 수 순으로 정렬한 뒤 3 번째 값을 그대로 읽으면 끝입니다. 정렬만 해 놓으면 중앙값은 계산이 전혀 필요 없으니, 합을 구하고 나누어야 하는 평균과의 차이가 또렷이 드러납니다 — 큰 값 하나(106)가 가운데 자리는 못 흔들어도 평균은 거의 세 배 가까이 끌어올리는 것이 보입니다.
몸무게 다섯 개 정렬하기
다섯 몸무게를 작은 수부터 큰 수 순으로 정렬하면, 중앙값은 3번째 자리에 있는 값입니다.
값을 순서대로 늘어놓는 것은 가장 기본적인 자료 정리이고, 6학년 "수치자료 요약하기" 단원이 바로 여기서 시작합니다.
6.SP.B.5Make A Systematic List중앙값 읽기
작은 문제 1: 값이 5개이면 가운데는 정렬된 3번째 값이므로 중앙값은 6 파운드입니다.
6학년에서 정의하는 중앙값은 "정렬 후 가운데 하나" 입니다. 계산이 전혀 필요 없습니다.
6.SP.A.3Identify Subproblems다섯 몸무게 더하기
작은 문제 2: 다섯 몸무게를 더해 합 130 파운드를 얻은 뒤 5로 나눕니다.
여러 자연수를 자릿값에 맞춰 더하는 것은 4학년 여러 자릿수 덧셈 그대로입니다.
4.NBT.B.4Identify Subproblems나누어 평균 구하기
합을 아이 수 5로 나누면 평균은 26 파운드입니다.
세 자릿수를 한 자릿수로 나누어 정수 몫을 구하는 것은 4학년 나눗셈 그대로이고, 130 ÷ 5 = 26으로 깔끔하게 떨어집니다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems평균에서 중앙값 빼기
작은 문제 3: 평균(26)이 중앙값(6)보다 크고, 빼면 차이는 20 파운드 → (E).
한 값이 나머지보다 훨씬 클 때 평균은 그쪽으로 쏠리지만 중앙값은 꿈쩍하지 않는다 — 6학년 "중심 측도" 의 극단값에 대한 핵심 직관입니다.
다섯 아이에 대해 평균 몸무게가 중앙값 몸무게보다 크고, 그 차이는 20파운드이다.
▸ 왜?
평균 몸무게는 26파운드이다. 모든 몸무게를 한데 모아 다섯 아이에게 똑같이 나누면 130 ÷ 5 = 26이기 때문이다.
▸ 왜?
다섯 몸무게를 모으면 전체 130파운드가 된다. 무리의 전체 몸무게는 각 아이의 몸무게를 그대로 더한 것이기 때문이다: 5 + 5 + 6 + 8 + 106 = 130.
▸ 왜?
130파운드를 다섯 아이에게 똑같이 나눈다는 것은 크기가 같은 5묶음 각각이 얼마인지를 묻는 것이고, 26짜리 같은 묶음 5개가 다시 130이 되므로 한 몫은 반드시 26이다.
▸ 왜?
중앙값 몸무게는 6파운드이다. 다섯 몸무게를 작은 것부터 큰 것 순으로 줄 세웠을 때 한가운데에 놓이는 값이고, 개수가 다섯 개로 홀수이므로 그 가운데는 단 하나인 3번째 값, 곧 6이다.
▸ 왜?
26이 6보다 크므로 평균이 두 요약값 중 더 큰 쪽이고, 앞선 만큼은 26 - 6 = 20파운드이다.
▸ 왜?
앞선 양은 중앙값에서 평균까지 채워야 하는 빠진 만큼이다: 6에 그 만큼을 더하면 26이 되고, 뺄셈이 그 만큼을 26 - 6 = 20으로 되찾아 준다.
이 AMC 8 문제는 6학년 때 배운 평균과 중앙값만 알면 풀 수 있어요 — 한 명의 큰 값(106 파운드!)이 평균은 크게 끌어올리지만 중앙값은 흔들지 못해요.
- 몸무게 다섯 개 정렬하기
- 중앙값 읽기
- 다섯 몸무게 더하기
- 나누어 평균 구하기
- 평균에서 중앙값 빼기
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