AMC 8 · 2013 · #9

학년 6 patternalgebra

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

sequences-geometricexponentspattern-recognition pattern-recognitionsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: exponentsmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 2 개 인사이트

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문제

헐크의 점프 거리가 매번 두 배로 늘어납니다 — 1, 2, 4, 8, … 미터. 점프 거리가 처음으로 1,000 미터를 넘는 것은 몇 번째 점프일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$9^\text{th}$

(B)

$10^\text{th}$

(C)

$11^\text{th}$

(D)

$12^\text{th}$

(E)

$13^\text{th}$

AMC 8 2013 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 패턴 찾기

두 배씩 늘어나는 깔끔한 수열이라 도구 #5(패턴 찾기) 가 가장 자연스럽습니다 — n번째 점프 거리가 2ⁿ⁻¹ 이라는 규칙을 찾으면 됩니다. 그다음 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 2 의 거듭제곱을 순서대로 적어 가다가 1,000 을 처음으로 넘는 값에서 멈추면 끝납니다. 대수나 로그 없이 그저 두 배씩 키워 가며 한 번만 "넘었다" 라고 외치면 됩니다.

1STEP 1

각 점프는 직전의 두 배라서 거리는 두 배 패턴을 이룹니다: 1, 2, 4, 8, 16, …

점프 1{:} 1, 점프 2{:} 2, 점프 3{:} 4, 점프 4{:} 8

2STEP 2

각 거리를 2의 거듭제곱으로 바꾸면 n번째 점프는 2ⁿ⁻¹입니다.

점프 n = 2ⁿ⁻¹

3STEP 3

2의 거듭제곱을 순서대로 나열합니다: 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024.

2⁷ = 128, 2⁸ = 256, 2⁹ = 512, 2¹⁰ = 1024

4STEP 4

2⁹ = 512는 1,000보다 작지만 2¹⁰ = 1024는 넘으므로 처음 넘기는 지수는 10입니다.

512 ＜ 1000 ＜ 1024 → 지수 = 10

5STEP 5

점프 n의 거리가 2ⁿ⁻¹이므로 지수 10은 n − 1 = 10, 따라서 n = 11입니다.

n - 1 = 10 → n = 11 → (C)

정답

11^th

11번째 점프는 2¹⁰ = 1024 m 로 1,000 m 를 아슬아슬하게 넘고, 바로 앞 2⁹ = 512 m 는 아슬아슬하게 모자랍니다. 두 배씩 자라는 수열은 항상 2× 간격으로 건너뛰기 때문에 기준선 근처에서 이렇게 "아슬아슬" 한 느낌이 나오는 게 자연스럽습니다. 답 (C) 는 선택지 한가운데에 있어, AMC 가 정답 양옆에 오답을 배치한 흔한 패턴과도 맞아떨어집니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 "2 의 거듭제곱" 식만 알면 풀 수 있어요!

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