경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #11

학년 7 counting
유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements
combinations-basiclattice-pathscomplementary-counting complementary-countingidentify-subproblems ↑ 선수 지식: combinations-basicsystematic-enumeration
📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트
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문제
잭은 자기 집에서 동쪽 3 블록, 북쪽 2 블록 떨어진 질의 집까지 자전거를 탑니다. 한 블록을 갈 때마다 동쪽 또는 북쪽 중 하나만 선택할 수 있고(되돌아가기 없음), 전체 길이는 정확히 5 블록입니다. 잭의 집에서 동쪽으로 1 블록, 북쪽으로 1 블록 떨어진 모퉁이는 위험하므로 반드시 피해야 합니다. 위 조건을 만족하는 5 블록 경로는 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)
4
(B)
5
(C)
6
(D)
8
(E)
10

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 빠짐없이 나열하기

전체 경로가 10 가지밖에 안 되니, 조합 공식 없이도 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모두 적을 수 있습니다. 도구 #1(그림 그리기)로 3 × 2 격자를 그려서 각 경로를 눈으로 따라가고, 도구 #3(가능성 지우기)로 (1,1)을 지나는 경로를 지우면 됩니다. 도구 #16(여사건)은 검토용으로 자연스럽습니다 — 안전 경로 대신 "나쁜" 경로를 세어서 10 에서 빼는 방식입니다.

1STEP 1

길 격자 그리기

잭 (0,0), 질 (3,2)을 격자에 두고 위험 지점 (1,1)에 X 표시. 모든 경로는 동·북 이동의 계단 모양.

격자: x = 0, 1, 2, 3 (열 4 개) × y = 0, 1, 2 (행 3 개). 금지 지점: (1,1).
2STEP 2

열 가지 경로 나열하기

각 경로는 E 3 개와 N 2 개의 순서 배열이라, 체계적으로 나열하면 정확히 10 가지입니다.

전체 10 가지 경로 (두 N 의 위치를 대괄호로 표시):n1) NNEEE [1,2]n2) NENEE [1,3]n3) NEENE [1,4]n4) NEEEN [1,5]n5) ENNEE [2,3]n6) ENENE [2,4]n7) ENEEN [2,5]n8) EENNE [3,4]n9) EENEN [3,5]n10) EEENN [4,5]
3STEP 3

막힌 모퉁이 지나는 경로 찾기

경로가 (1,1)에 닿으려면 첫 두 이동이 E·N 한 번씩, 즉 EN 또는 NE 로 시작할 때뿐이라 6 가지가 걸립니다.

나쁜 시작: EN… 또는 NE….n위 목록에서: #2 NE…, #3 NE…, #4 NE…, #5 EN…, #6 EN…, #7 EN… — 총 6 가지.
4STEP 4

안 되는 경로 지우기

10 에서 그 6을 지우면 NNEEE, EENNE, EENEN, EEENN 만 남아 안전 경로는 4 가지.

안전 경로: {NNEEE, EENNE, EENEN, EEENN} → 개수 = 4.
5STEP 5

남은 경로 세기

답: 안전한 경로 4 가지 — 선택지 (A).

안전 경로 수 = 10 - 6 = 4 → (A)
정답
4
위험 모퉁이 (1,1)이 출발점에 매우 가깝기 때문에 많은 경로를 가로막습니다 — 10 중 6 개. 처음부터 위로 두 번 올라가거나(NN...), 처음부터 동쪽으로 두 번 가야(EE...) (1,1)을 피할 수 있고, 그런 경로가 딱 4 개라는 결과는 작은 격자에서 직관적으로 자연스럽습니다. (A) 4와 일치합니다.
💡핵심 정리

전체 경우의 수가 작을 때(10 개)는 조합 공식 없이도, 7학년식 "정리된 목록" 으로 모든 경로를 적고 나쁜 것을 지워서 답을 얻을 수 있어요.

  • 길 격자 그리기
  • 열 가지 경로 나열하기
  • 막힌 모퉁이 지나는 경로 찾기
  • 안 되는 경로 지우기
  • 남은 경로 세기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

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