경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2020 · #10

학년 7 counting

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Complement by Subtracting Forbidden Arrangements

permutations-basiccomplementary-counting complementary-counting ↑ 선수 지식: systematic-enumeration

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

자라(Zara)는 서로 다른 구슬 4 개 — 애기(A), 범블비(B), 스틸리(S), 타이거(T) — 를 선반에 한 줄로 진열하려고 합니다. 단, 스틸리와 타이거를 서로 이웃하게 놓고 싶지 않습니다. 이 조건을 만족하는 배열은 몇 가지일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2020 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 관점 바꾸기 / 여사건 세기

"이웃하지 않게" 라는 조건은 도구 #16(여사건 세기)의 전형적인 신호입니다. 스틸리와 타이거가 떨어져 있는 경우를 직접 세려면 스틸리의 위치별로 복잡한 경우 분류가 필요하지만, 반대로 "이웃해 있는 경우" 는 둘을 한 덩어리로 묶어 버리면 단숨에 셀 수 있기 때문입니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 총 24 가지 배열에 대한 검산을 보완하고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 최종 값이 어느 선택지와 일치하는지 확인합니다.

1STEP 1

전체 배열 세기

제약 없이 네 자리를 차례로 채우면 곱의 법칙으로 4 × 3 × 2 × 1 = 24 가지입니다.

전체 = 4 × 3 × 2 × 1 = 24

2STEP 2

붙어 있는 배열 세기

스틸리와 타이거를 한 덩어리 [ST]로 묶어 애기·범블비와 함께 3 개를 세우면 3 × 2 × 1 = 6 가지입니다.

덩어리 배열 = 3! = 3 × 2 × 1 = 6

3STEP 3

안쪽 두 순서만큼 곱하기

덩어리 안은 ST 또는 TS로 2 가지, 따라서 금지 배열은 6 × 2 = 12 가지입니다.

금지 배열 = 6 × 2 = 12

4STEP 4

금지된 배열 빼기

전체에서 금지 배열을 빼면 스틸리가 타이거와 떨어진 배열만 남습니다: 24 - 12 = 12 가지.

허용 = 24 - 12 = 12

여사건의 원리: (원하는 것) = (전체) - (원하지 않는 것).

스틸리와 타이거가 서로 이웃하지 않는 배열의 수는 24에서 12를 뺀 12이다.

▸ 왜?

네 구슬의 모든 배열은 스틸리와 타이거가 이웃한 경우와 이웃하지 않은 경우 둘 중 정확히 하나에 속하며, 빠지는 배열도 겹쳐 세는 배열도 없다. 그래서 이웃하지 않는 배열은 전체에서 이웃한 배열을 덜어낸 나머지이다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

전체 배열은 24가지이다. 네 자리를 하나씩 채우면 4, 그다음 3, 2, 1가지 선택이 되고, 그 독립적인 선택들이 곱해져 24가 된다.

독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.

▸ 왜?

스틸리와 타이거가 이웃한 배열은 12가지이다.

▸ 왜?

스틸리와 타이거를 한 덩어리로 붙이면, 이웃한 각 배열은 세 단위 — 그 덩어리, 애기, 범블비 — 의 한 배열과 덩어리 안쪽 두 순서 중 하나에 정확히 대응하므로, 그것들을 세면 이웃한 배열을 정확히 센 것이다.

▸ 왜?

이웃한 각 배열을 덩어리 배열과 안쪽 순서 하나에 짝짓고 다시 그것을 이웃한 배열 하나로 되돌리면 짝 없이 남는 것이 없으므로, 두 모임의 크기는 같다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

세 단위가 세 자리를 채우는 데 3가지, 그다음 2가지, 1가지 선택이 있고, 그 선택들이 곱해져 6가지 순서가 된다.

독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.

▸ 왜?

세 단위의 6가지 순서와 덩어리 안쪽의 2가지 순서는 서로 독립적인 선택이므로, 둘을 곱하면 6 곱하기 2, 곧 12가 된다.

독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.

4.OA.A.3Change Focus Count The Complement

5STEP 5

선택지와 맞춰 보기

선택지 중 12와 일치하는 것은 (C) 뿐이므로 정답은 (C) 입니다.

12 = (C)

정답

전체 24는 정확히 4! 이고, 서로 다른 4 개를 한 줄로 세우는 경우의 수가 맞습니다. 금지 배열 12는 전체 24의 정확히 절반인데, 직관적으로도 말이 됩니다 — 서로 다른 4 개 중 특정한 두 개가 이웃할 확률은

\frac{2 · 3!}{4!} = \frac{12}{24} = \frac{1}{2}

이므로, "이웃하지 않을 확률" 도

\frac{1}{2}

, 즉 12 가지입니다. 또 12는 선택지 6, 8, 12, 18, 24의 가운데에 있어, 여사건으로 절반을 빼낸 결과로 자연스러운 크기입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 "조직된 목록으로 경우의 수 세기" 만 알면 풀 수 있어요 — 전체를 세고, 안 되는 것을 세고, 빼면 끝!

전체 배열 세기
붙어 있는 배열 세기
안쪽 두 순서만큼 곱하기
금지된 배열 빼기
선택지와 맞춰 보기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

전체 배열 세기

붙어 있는 배열 세기

안쪽 두 순서만큼 곱하기

금지된 배열 빼기

선택지와 맞춰 보기

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