AMC 8 · 2014 · #12

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

probability-basicpermutations-basicsystematic-enumeration systematic-enumeration ↑ 선수 지식: permutations-basicprobability-basic

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문제

잡지에 연예인 3 명의 사진과, 누구의 것인지 표시되지 않은 아기 시절 사진 3 장이 실려 있습니다. 독자가 아무 정보 없이 추측만으로 각 연예인을 아기 사진 한 장과 짝짓는다면, 세 쌍을 모두 정확히 맞힐 확률은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{9}$

(B)

$frac{1}{6}$

(C)

$frac{1}{4}$

(D)

$frac{1}{3}$

(E)

$frac{1}{2}$

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

가능한 짝짓기 수가 많지 않으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 모든 경우를 순서대로 적고 그냥 세면 됩니다. 세는 방법이 맞는지 확인하기 위해 먼저 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기)를 써서 연예인이 2 명인 경우 — 손으로 다 적을 수 있을 만큼 작은 경우 — 를 풀어 보면, 짝짓기는 2 × 1 = 2 가지로 나옴이 확인됩니다. 같은 원리로 3 명일 때는 3 × 2 × 1 = 6 가지가 되고, 그 중 모두 정답인 경우는 정확히 1 가지이므로 확률은 $\frac{1}{6}$ 입니다.

1STEP 1

먼저 쉬운 2 명 경우로 몸풀기 — 모든 짝짓기를 적으면 딱 2 × 1 = 2 가지뿐입니다.

2 × 1 = 2 가지

2STEP 2

3 명일 때 모든 짝짓기를 적으면 ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA — 정확히 3 × 2 × 1 = 6 가지.

3 × 2 × 1 = 6 가지

3STEP 3

6 가지 중 ABC 만 모두 자기 사진과 맞으므로, 모두 정답인 경우는 1 가지뿐입니다.

모두 정답인 경우 = 1

4STEP 4

6 가지 짝짓기가 모두 똑같이 일어나므로 확률 = 좋은 경우/전체 경우 = $\frac{1}{6}$ .

P(모두 정답) =

\frac{1}{6}

→ (B)

정답

\frac{1}{6}

\frac{1}{6}

≈ 16.7% 라는 값은 감각적으로 그럴듯합니다. 정보 없이 세 번을 연속으로 다 맞춰야 하니까요.

\frac{1}{2}

(동전 던지기) 보다는 훨씬 작고,

\frac{1}{9}

보다는 큰데 — 만약 세 번의 추측이 서로 독립이라면

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{1}{3}

\frac{1}{27}

이 되어야 하지만, 실제로는 독립이 아닙니다. 연예인 1 의 사진이 결정되면 연예인 2 가 고를 사진은 2 장뿐, 그 다음엔 1 장뿐이라 짝짓기 수는 3 · 2 · 1 = 6 으로 줄어듭니다.

💡핵심 정리

연예인 3 명과 아기 사진 3 장의 모든 짝짓기 6 가지를 적어 보면, 모두 정답인 경우는 1 가지뿐 — 그래서 확률은 $\frac{1}{6}$ 이에요!

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