AMC 8 · 2014 · #14

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theorem identify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-trianglespythagorean-theorem

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

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문제

직사각형 ABCD 의 변 길이가 AB = 5, AD = 6 입니다. 직각삼각형 DCE 는 직사각형과 변 DC 를 공유하므로 한 다리(leg)가 DC = 5 이고, 직각은 C 에 있으며 다른 다리 CE 는 BC 의 연장선 위에 놓입니다. 직사각형과 삼각형의 넓이가 같을 때, 삼각형의 빗변 DE 의 길이를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

이 문제 안에는 작은 질문 세 개가 숨어 있습니다 — (a) 직사각형 넓이는? (b) 그 넓이가 같다면 모르는 다리 CE 의 길이는? (c) 두 다리를 알면 빗변 DE 는? 이것이 바로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 그대로입니다. 각 조각을 풀고 이어 붙이면 끝입니다. 도구 #1(그림 그리기) 은 DC = 5 가 공유변임을 눈으로 확인해 삼각형의 "높이" 가 누구이고 "밑변" 이 누구인지 헷갈리지 않게 해 줍니다. 마지막 단계에서는 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로 무거운 계산 대신 잘 알려진 피타고라스 수 (5, 12, 13) 을 떠올리면 빗변이 13 임을 바로 알 수 있습니다.

1STEP 1

작은 문제 1 — 직사각형 넓이는 두 변의 곱, 5 × 6 = 30.

넓이(ABCD) = 5 × 6 = 30

2STEP 2

작은 문제 2 — 두 넓이가 모두 30, ½ · DC · CE = 30 (DC = 5) 이므로 다리 CE = 12.

\frac{1}{2}

· DC · CE = 30 →

\frac{1}{2}

· 5 · CE = 30 → CE =

\frac{60}{5}

= 12

3STEP 3

도구 #1 확인 — CE = 12 는 폭 6 의 두 배로, 그림에서 E 가 C 보다 한참 오른쪽인 것과 맞습니다.

CE = 12 인데 BC = 6 이므로, E 는 직사각형 끝에서 12 - 6 = 6 더 나간 위치.

4STEP 4

작은 문제 3 — 다리 5, 12 이므로 DE 는 빗변; a² + b² = c² 로 DE = 13, 유명한 (5, 12, 13) 피타고라스 수.

DE² = 5² + 12² = 25 + 144 = 169 → DE = √(169) = 13 → (B)

정답

직각삼각형의 빗변은 두 다리보다는 길고 두 다리의 합보다는 짧아야 합니다. 다리가 5 와 12 이므로 12 ＜ DE ＜ 17 — (B) 13, (C) 14, (D) 15, (E) 16 만 후보로 남는데, 이 중 (5, 12, 13) 이라는 잘 알려진 피타고라스 수와 일치하는 것은 13 뿐입니다. 넓이도 다시 확인하면

\frac{1}{2}

· 5 · 12 = 30 = 5 · 6 으로 두 도형 모두 넓이 30 이 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 직사각형 넓이 → 모르는 다리 → 피타고라스 세 단계로 이어지므로, 8학년의 a² + b² = c² 한 가지만 알면 풀 수 있어요!

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