경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #15

학년 8 geometry-2d

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Multi-Segment Path or Count Sum

inscribed-anglearc-measureequal-spacing identify-subproblems ↑ 선수 지식: angle-sum-triangleequal-spacing

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

중심이 O 인 원의 둘레가 12 개의 같은 호로 나뉘어 있고, 끊긴 지점들이 차례대로 A, B, C, …, L 로 표시되어 있습니다. 그림 안에서 각 x 는 E–A–G 경로의 꼭짓점 A 에서 만들어지는 각(x = ∠ EAG)이고, 각 y 는 A–G–I 경로의 꼭짓점 G 에서 만들어지는 각(y = ∠ AGI)입니다. x + y 의 값을 도(°) 단위로 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

120

(E)

150

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

그림이 복잡해 보이지만 묻는 것은 x + y 뿐이므로, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (a) 작은 호 하나의 크기, (b) x 의 값, (c) y 의 값 — 이렇게 세 개의 작은 문제로 나눕니다. 도구 #1(그림 그리기)은 보조 수단입니다 — 그림에 반지름 OE, OG, OA, OI 를 추가로 그어 두면, 원 위에서 만들어지는 각들이 모두 "반지름 두 개로 이루어진 이등변삼각형" 두 개로 쪼개집니다. 그러면 원주각 정리를 블랙박스로 외울 필요 없이, 삼각형 내각합과 직선 180° 만으로 중심각으로부터 x, y 를 구할 수 있습니다.

1STEP 1

작은 호 하나 구하기

12 개의 같은 호가 360° 를 채우므로, 작은 호 하나(중심각)는 $\frac{360°}{12}$ = 30° 입니다.

작은 호 하나 = 360°/12 = 30°

2STEP 2

첫 번째 각 세우기

반지름 OE, OA, OG 를 그으면 호 E→G 는 작은 호 2 개라 ∠ EOG = 60°, OA = OE = OG 로 삼각형은 이등변입니다.

∠ EOG = 2 · 30° = 60°; OA = OE = OG

3STEP 3

첫 번째 각 구하기

반지름 삼각형이 이등변이라 내각합을 정리하면 x 는 ∠ EOG 의 절반 — x = 30° 입니다.

x = 1/2 · ∠ EOG = 1/2 · 60° = 30°

반지름으로 만든 두 이등변삼각형에 삼각형 내각합을 적용하는 것은 8학년 "비형식적 논증" 동작이고, 그 결론이 바로 "중심각의 절반" 규칙입니다.

각 x=∠ EAG는 꼭짓점 A가 원 위에 있고 두 변이 원 위의 점 E와 G를 지나는데, 같은 호 EG를 여는 중심각 ∠ EOG의 정확히 절반이다.

▸ 왜?

반지름 OE, OA, OG를 그으면 삼각형 △ OAE와 △ OAG가 만들어지고 둘 다 이등변삼각형이며, 이등변삼각형의 두 밑각은 서로 같다.

▸ 왜?

OA, OE, OG는 각각 중심에서 원 위의 점까지 이어지므로 모두 반지름 하나만큼의 길이로 같고, 그래서 각 삼각형이 이등변삼각형이 된다.

원의 반지름은 일정하다원 위의 모든 점은 중심에서 반지름만큼 떨어져 있어, 한 원의 모든 반지름은 같다.

▸ 왜?

두 변이 같은 삼각형은 그 두 변 사이 한가운데 선을 따라 접으면 같은 두 변이 자리를 바꾸고, 그 접기가 한 밑각을 다른 밑각 위로 옮겨 두 밑각이 같음을 보인다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

이 삼각형들 각각에서 O의 중심각은 A의 밑각의 두 배와 같아서, 각 삼각형 안에 든 x의 부분은 그 중심각 조각의 절반이고, 두 조각을 이어 붙이면 전체 각 ∠ EOG가 된다.

▸ 왜?

삼각형의 세 각은 180°가 되므로 두 밑각이 정해지면 O의 각도 정해진다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

▸ 왜?

삼각형 안 O의 각과 그 옆의 중심각 조각은 곧게 뻗은 반지름 직선 위에 나란히 놓여 180°를 채우므로, 그 조각은 두 밑각을 더한 것 — 즉 A 밑각의 두 배와 같다.

평각은 180도직선 위에 나란히 놓인 각들은 언제나 180도를 채운다.

▸ 왜?

중심각 ∠ EOG 전체는 빈틈도 겹침도 없이 이어 붙인 두 조각일 뿐이므로, 각 조각을 절반으로 하여 더하면 x는 전체의 절반과 같다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

8.G.A.5Identify Subproblems

4STEP 4

두 번째 각 같은 방법으로 구하기

y = ∠ AGI 도 마찬가지 — 작은 쪽 호 A→I 가 4 개라 ∠ AOI = 120°, 따라서 y = 60° 입니다.

∠ AOI = 4 · 30° = 120°; y = 1/2 · 120° = 60°

5STEP 5

두 각 더하기

두 조각을 더하면 x + y = 30° + 60° = 90° — 선택지 (C)입니다.

x + y = 30° + 60° = 90° → (C)

정답

작은 호 하나가 30°, x 는 2 개 호 위, y 는 4 개 호 위에 얹혀 있어 호 합계가 6 개 = 180° 입니다. 원 위(원주각) 합은 그 절반인 90° — 선택지 (C)와 정확히 일치합니다. 그림에서도 x, y 가 예각으로 보이고 대략 30°, 60° 정도여서 직관과도 맞습니다.

💡핵심 정리

각의 꼭짓점이 원 위에 있을 때, 그 두 변까지 반지름을 그어 보면 이등변삼각형이 두 개 생기고 — 삼각형 내각합만으로 그 각이 "받침이 되는 호의 절반" 이라는 사실이 자연스럽게 나옵니다.

작은 호 하나 구하기
첫 번째 각 세우기
첫 번째 각 구하기
두 번째 각 같은 방법으로 구하기
두 각 더하기

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작은 호 하나 구하기

첫 번째 각 세우기

첫 번째 각 구하기

두 번째 각 같은 방법으로 구하기

두 각 더하기

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