경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2014 · #18

학년 7 probability

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: probability-basiccombinations-basic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

어느 병원에서 아기 4 명이 태어났고, 각 아기는 남아일 확률과 여아일 확률이 같다고 가정합니다. 보기로 주어진 성별 구성 — 전부 남아, 전부 여아, 남아 2 명과 여아 2 명, 3 명이 같은 성별이고 1 명이 다른 성별 — 중에서 가장 가능성이 높은 경우는 어느 것일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

All are boys

(B)

All are girls

(C)

2 are boys and 2 are girls

(D)

3 are the same gender and 1 is not

(E)

They all have the same probability

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

아기가 4 명뿐이므로 순서 있는 결과의 수는 2⁴ = 16 가지로 모두 적어 볼 수 있습니다 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기). 16 가지를 다 적은 다음 보기별 묶음으로 갈라서 "어느 묶음이 가장 큰가?" 만 보면 됩니다. 이어서 도구 #3(가능성 지우기)으로 보기를 정리합니다: 두 묶음의 개수가 달라지는 순간 (E)는 탈락하고, (D)의 개수가 (A) · (B) · (C) 보다 크다는 사실 하나로 답이 확정됩니다.

1STEP 1

전체 경우의 수 세기

출생 한 번마다 남아·여아뿐이라, 표본 공간은 동등확률인 순서 결과 16 가지입니다.

2 × 2 × 2 × 2 = 2⁴ = 16

2STEP 2

열여섯 경우 나열하기

열여섯 가지를 남아 수 기준으로 정렬해 빠짐없이 적으면, 빠뜨림도 중복도 없습니다.

남아 0: GGGG ; 남아 1: BGGG, GBGG, GGBG, GGGB ; 남아 2: BBGG, BGBG, BGGB, GBBG, GBGB, GGBB ; 남아 3: BBBG, BBGB, BGBB, GBBB ; 남아 4: BBBB

3STEP 3

선택지별 개수 세기

리스트에서 개수를 읽으면 전부 남아·전부 여아는 각 1, 2-2 구성은 6, 3-1 구성은 8 가지입니다.

(A) 1/16, (B) 1/16, (C) 6/16, (D) 8/16

16 가지가 모두 동일한 확률이므로 각 보기의 확률은 (해당 결과 수) / 16이 되며, 이것이 7학년 "동등확률 모델로 확률 구하기" 입니다.

16개의 네 아이 문자열이 모두 똑같이 일어나므로, 나열된 각 결과의 확률은 그 16개 중 차지하는 몫일 뿐이고, "3명은 같고 1명은 다른" 무리는 그중 8개를 채우는 반면 다른 어떤 무리도 많아야 6개만 채운다.

▸ 왜?

네 번의 출생은 각각 독립된 2갈래 선택이고, 독립적 선택은 곱해지므로 각 출생의 선택 수가 합쳐져 2 × 2 × 2 × 2 = 16개의 문자열이 된다.

독립된 선택은 곱해진다첫 선택이 a가지이고 그 각각마다 두 번째가 b가지면, 짝을 만드는 방법은 a 곱하기 b가지다.

▸ 왜?

"3명이 같은" 무리는 결코 겹치지 않는 두 경우 — 남 셋에 여 하나, 또는 여 셋에 남 하나 — 로 나뉘므로, 전체는 두 경우의 개수를 더한 4 + 4 = 8이다.

▸ 왜?

각 경우에서 전체 문자열은 혼자 다른 한 아이로 완전히 정해지고, 그 다른 아이는 4자리 중 어느 하나든 될 수 있으므로 각 경우는 정확히 4개의 문자열을 가진다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

▸ 왜?

네 명의 집합이 동시에 "남 셋 여 하나"이면서 "여 셋 남 하나"일 수는 없으므로, 두 경우는 어떤 문자열도 공유하지 않고 그 개수는 그대로 더해진다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

문자열이 많은 다른 유일한 무리 "2 대 2"는 4명 중 어느 2명이 남자인지 고르는 것으로 정해지며, 그런 선택은 6가지뿐 — 8보다 적다.

일대일 대응여기 있는 것 하나가 저기 있는 것 하나와 딱 짝지어지면 두 무리의 크기는 같다.

7.SP.C.7Make A Systematic List

4STEP 4

비교해서 답 고르기

두 개수가 달라지면 (E)는 탈락, $\frac{8}{16}$ 이 나머지 모두를 이기므로 3-1 구성이 가장 가능성이 높습니다.

8/16 ＞ 6/16 ＞ 1/16 → (D)

정답

3명은 같은 성별, 1명은 다름

네 가지 확률을 모두 더하면

\frac{1}{16}

\frac{1}{16}

\frac{6}{16}

\frac{8}{16}

\frac{16}{16}

= 1이 되어, 16 가지 결과가 네 묶음으로 빠짐없이 갈라졌음을 확인할 수 있습니다. 직관적으로도 "전부 남아" 나 "전부 여아" 처럼 극단적인 경우는 특정 한 줄만 해당하니 드물고, 3-1 구성은 "누가 혼자 다른 성별인가" 자리가 4 군데 × 다수 성별 2 가지 = 8 가지나 되니 가장 흔한 것이 자연스럽습니다.

💡핵심 정리

결과가 16 가지뿐이라 직접 다 적어볼 수 있고, 가장 많이 나오는 묶음은 자리 수가 8 가지인 3-1 구성입니다.

전체 경우의 수 세기
열여섯 경우 나열하기
선택지별 개수 세기
비교해서 답 고르기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

전체 경우의 수 세기

열여섯 경우 나열하기

선택지별 개수 세기

비교해서 답 고르기

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