경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 8 · 2025 · #24

학년 7 geometry-2dnumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor / Divisibility Constraint

perimetersimilar-triangleslinear-diophantineangle-sum-triangle convert-to-algebrasystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: perimeterpythagorean-theoremlinear-equations-two-var

📏 긴 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

사다리꼴 ABCD 에서 밑각 ∠ B 와 ∠ C 가 모두 60° 이고 두 다리(평행하지 않은 변)의 길이가 같아(AB = DC)이 사다리꼴은 등변사다리꼴이며, 평행한 두 밑변은 AD 와 BC 입니다. 네 변의 길이가 모두 양의 정수이고 둘레가 30 일 때, 이 조건을 모두 만족하는 서로 합동이 아닌 사다리꼴은 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2025 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

주어진 그림에서 한 발 더 나가야 합니다 — 도구 #1(그림 그리기)로 A 와 D 에서 밑변 BC 로 수선을 내려 보면, 가운데 직사각형 하나와 양옆에 합동인 30–60–90 직각삼각형 두 개가 생깁니다. 이게 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)의 핵심 분해입니다. 30–60–90 비율 때문에 각 다리의 "비어져 나온 부분" 이 정확히 다리 길이의 절반이 되어, BC = AD + AB 라는 깔끔한 관계가 나옵니다. 여기에 둘레 = 30을 합치면 미지수 두 개짜리 식 하나만 남으므로, 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 가능한 다리 길이를 작은 수부터 차례로 훑어 답을 셀 수 있습니다 — 무거운 대수 없이도 끝납니다.

1STEP 1

변의 길이 이름 붙이기

밑변 AD = a, BC = b, 다리 = x; 수선을 내리면 직사각형 하나와 30–60–90 삼각형 두 개가 생깁니다.

AD = a, BC = b, AB = DC = x

2STEP 2

30-60-90 비율 쓰기

각 30–60–90 삼각형의 빗변이 다리 x 이므로, 30° 의 대변인 삐져나온 부분 BE = CF 는 x/2 입니다.

BE = CF = x/2

3STEP 3

b를 a와 x로 나타내기

긴 밑변은 BC = x/2 + a + x/2로 쪼개지므로, 깔끔한 관계 b = a + x 가 나옵니다.

b = x/2 + a + x/2 = a + x

BC 의 세 토막을 더해서 전체 길이를 구하는 것은 4학년 "각·선분 측정값은 더해진다" 는 발상입니다.

이 사다리꼴에서 긴 밑변은 정확히 짧은 밑변에 다리 하나의 길이를 더한 것과 같다.

▸ 왜?

위쪽 두 꼭짓점에서 내린 두 수선이 긴 밑변을 왼쪽 조각, 가운데 조각, 오른쪽 조각으로 자르며, 이 세 조각을 합치면 긴 밑변 전체가 된다.

▸ 왜?

수선의 발은 긴 밑변 위에 놓여 빈틈도 겹침도 없이 밑변을 나누므로, 세 조각을 다시 더하면 밑변 전체가 된다.

전체는 부분의 합겹침도 빈틈도 없이 조각내면 그 조각들을 다시 더해 전체가 된다.

▸ 왜?

가운데 조각은 짧은 밑변과 길이가 같은데, 짧은 밑변과 가운데 조각이 두 수선 사이에 생긴 직사각형의 위아래 두 변이기 때문이다.

▸ 왜?

짧은 밑변을 길이가 같은 두 수선을 따라 곧장 아래로 밀면 가운데 조각에 정확히 포개지므로, 두 선분의 길이는 같아야 한다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

▸ 왜?

양 끝 조각은 각각 다리의 절반이므로, 왼쪽과 오른쪽 조각을 합치면 가운데 조각에 다리 하나의 길이가 정확히 더해진다.

▸ 왜?

각 모서리 삼각형은 수선의 발에서 직각을, 밑변에서 60도를 가지므로, 남은 한 각이 30도로 정해진다.

삼각형 내각의 합은 180도평평한 삼각형의 세 각은 언제나 평각 하나, 180도가 된다.

▸ 왜?

모서리 삼각형을 그 수직 높이를 축으로 뒤집으면 다리와 바깥 조각이 반대편에 복사되어, 밑변이 다리 하나만큼 긴 정삼각형이 만들어지므로 바깥 조각은 그 다리의 절반이 된다.

강체운동은 길이와 각을 보존한다밀기·돌리기·뒤집기는 도형을 복사본에 딱 포개므로 모든 길이와 각이 그대로 같다(접기는 뒤집기의 경우).

4.MD.C.7Identify Subproblems

4STEP 4

둘레로 식 세우기

둘레 a + b + 2x = 30에 b = a + x 를 대입하면 2a + 3x = 30 이 됩니다.

2a + 3x = 30

5STEP 5

정수해 모두 나열하기

30 − 3x 가 양수·짝수여야 하므로 x 는 10 미만 짝수, 즉 x ∈ {2, 4, 6, 8} — 각각 b ＞ a 인 사다리꼴입니다.

x & a & b & 변 ; 2 & 12 & 14 & {2,2,12,14} ; 4 & 9 & 13 & {4,4,9,13} ; 6 & 6 & 12 & {6,6,6,12} ; 8 & 3 & 11 & {8,8,3,11}

6STEP 6

서로 다른 사다리꼴 세기

각 줄이 서로 다른 변의 길이 묶음이라 네 사다리꼴은 모두 합동이 아니므로, 개수는 4, 답은 (E).

개수 = 4 → (E)

정답

다리 x 는 짝수이면서 10 보다 작아야 하므로 x ∈ {2,4,6,8}의 작은 유한집합이라, 답 4는 자연스러운 상한과 일치합니다. 양 극단을 확인해 보면, x=2 일 때는 낮고 옆으로 긴 사다리꼴(2,2,12,14), x=8 일 때는 높고 좁은 사다리꼴(8,8,3,11)입니다. 두 경우 모두 b = a + x ＞ a 라 BC 가 여전히 더 긴 밑변으로 유지되고, a=0 인 삼각형이나 a=b 인 직사각형으로 무너지는 경우가 없습니다. 따라서 개수 4가 맞고 답은 (E)입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 때 배운 30–60–90 각 관계와 6학년 때 배운 "가능한 정수 답 빠짐없이 나열하기" 만 알면 풀 수 있어요!

변의 길이 이름 붙이기
30-60-90 비율 쓰기
b를 a와 x로 나타내기
둘레로 식 세우기
정수해 모두 나열하기
서로 다른 사다리꼴 세기

가족의 부모 대시보드는 sensimlab.com에 있습니다.

변의 길이 이름 붙이기

30-60-90 비율 쓰기

b를 a와 x로 나타내기

둘레로 식 세우기

정수해 모두 나열하기

서로 다른 사다리꼴 세기

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