AMC 8 · 2014 · #20

학년 7 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

area-rectanglesarea-circlesestimation area-differenceidentify-subproblems ↑ 선수 지식: area-rectanglesarea-circles

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트 📊 도형

문제

3 × 5 크기의 직사각형 ABCD 의 세 꼭짓점에 원이 그려져 있습니다 — A 에 반지름 1, B 에 반지름 2, C 에 반지름 3. 직사각형 안쪽 부분만 따집니다. 직사각형 내부에서 어느 원에도 덮이지 않은 영역의 넓이를 구하고, 보기 중 가장 가까운 값을 고릅니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

3.5

(B)

4.0

(C)

4.5

(D)

5.0

(E)

5.5

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

구하려는 영역은 "직사각형에서 세 모서리 조각을 잘라낸 나머지" 이므로, 자연스러운 접근은 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 입니다 — 직사각형 넓이 계산, 각 사분원 넓이 계산, 그리고 빼기. 도구 #1(그림 그리기) 은 "원의 어느 부분이 직사각형 안에 들어오는가"(꼭짓점에서는 정확히 사분원) 를 정확히 보게 해 주고, 사분원들이 서로 겹치지 않는지 그림에서 미리 확인할 수 있게 해 줍니다.

1STEP 1

직사각형 넓이는 DA × CD = 5 × 3 = 15 — 여기서 모서리 조각을 잘라냅니다.

직사각형 넓이 = 5 × 3 = 15

2STEP 2

각 90° 꼭짓점은 정확히 사분원만 가두므로, 각 원에 넓이 공식 $\frac{1}{4}$ π r² 을 적용합니다.

넓이_A =

\frac{1}{4}

π(1)² = 0.25π, 넓이_B =

\frac{1}{4}

π(2)² = π, 넓이_C =

\frac{1}{4}

π(3)² = 2.25π

3STEP 3

겹침 확인: 1+2=3=AB, 2+3=5=BC 라 사분원들은 점에서만 닿아 중복 없이 더합니다.

1 + 2 = 3 = AB, 2 + 3 = 5 = BC

4STEP 4

겹치지 않는 세 사분원을 더하면 0.25π + π + 2.25π = 3.5π 가 덮인 면적입니다.

덮인 면적 = 0.25π + π + 2.25π = 3.5π

5STEP 5

안 덮인 면적 = 15 - 3.5π ≈ 15 - 10.99 = 4.01, 보기 (B) 4.0 에 가장 가깝습니다.

15 - 3.5π ≈ 15 - 3.5(3.14) = 15 - 10.99 = 4.01 → (B) 4.0

정답

4.0

크기 감을 확인합니다. 직사각형 넓이는 15, 세 사분원 합은 3.5π ≈ 11 로 직사각형의

\frac{2}{3}

보다 살짝 큽니다 — 그림을 보면 C 의 큰 사분원만으로도 모서리 하나가 통째로 사라지므로 시각적으로 자연스럽습니다. 따라서 남은 넓이는 한 자릿수의 작은 값이 되어야 하고, 15 - 11 = 4 는 선택지 범위 (3.5, 4.0, 4.5, 5.0, 5.5) 중앙에 정확히 들어갑니다. 3.5π 가 11 에 매우 가깝다는 사실과 일치하는 보기는 (B) 뿐입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 7학년 원 넓이 공식과, L자 도형에서 이미 쓰던 "조각으로 나눠 더하고 빼기" 만 알면 풀 수 있어요.

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