AMC 8 · 2014 · #21

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

divisibility-rulesdigit-summodular-arithmetic digit-constraintsmodular-arithmeticsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesmodular-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

두 개의 7자리 수 74A52B1 과 326AB4C 가 모두 3 의 배수입니다. 미지의 숫자 A, B, C 는 각각 0 부터 9 사이의 한 자리 숫자입니다. 선택지 중 C 가 될 수 있는 값은 무엇일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

두 미지수 A, B 는 두 수에 모두 등장하지만, C 는 두 번째 수에만 나타납니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 (1) 첫 번째 수의 배수 조건에서 A + B 에 대한 정보를 뽑고, (2) 그 정보를 두 번째 수의 조건에 넣어 C 만의 조건으로 줄이는 식으로 두 단계로 나누면 깔끔합니다. 마지막에 도구 #3(가능성 제거하기)으로 다섯 개의 선택지 중 우리가 찾은 C 조건을 만족하는 것 하나만 남기면 끝납니다. 도구 #6(추측하고 확인하기)은 자연스러운 보조 수단으로, 각 선택지를 직접 배수 조건에 대입해 검증할 수 있습니다.

1STEP 1

첫 번째 수 74A52B1: 아는 자리합이 19 이므로 19 + A + B 가 3 의 배수, 즉 1 + A + B 가 3 의 배수.

7 + 4 + 5 + 2 + 1 = 19, 19 + A + B = 18 + (1 + A + B) → 1 + A + B 가 3 의 배수

2STEP 2

두 번째 수 326AB4C: 아는 자리합이 15 로 이미 3 의 배수이니 남은 A + B + C 가 3 의 배수.

3 + 2 + 6 + 4 = 15, 15 + A + B + C 가 3 의 배수 → A + B + C 가 3 의 배수

3STEP 3

결합: 1단계는 A + B ≡ 2 (mod 3), 2단계는 A + B + C ≡ 0 (mod 3); 빼면 C ≡ 1 (mod 3) 남습니다.

A + B ≡ 2 (mod 3), A + B + C ≡ 0 (mod 3) → C ≡ 1 (mod 3)

4STEP 4

각 선택지를 3 으로 나눈 나머지: 1→1, 2→2, 3→0, 5→2, 8→2 — 나머지가 1 인 것은 1 뿐.

1 ÷ 3 → r = 1, 2 ÷ 3 → r = 2, 3 ÷ 3 → r = 0, 5 ÷ 3 → r = 2, 8 ÷ 3 → r = 2

5STEP 5

3 으로 나눈 나머지가 1 인 선택지는 C = 1 하나뿐이므로 답은 (A) 입니다.

C = 1 → (A)

정답

구체적인 A, B 로 검산해 봅시다. A = 1, B = 1 로 두면 A + B = 2 (3 으로 나눈 나머지 2, 1단계 조건 만족). 첫 번째 수 7411521 의 자리합은 7+4+1+1+5+2+1 = 21 = 3 × 7 로 3 의 배수. C = 1 을 넣은 두 번째 수 3261141 의 자리합은 3+2+6+1+1+4+1 = 18 = 3 × 6 으로 역시 3 의 배수. 두 검산이 모두 통과하므로 C = 1 이 실제로 작동하며, 답 (A) 가 맞습니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 "자리합으로 3 의 배수 알아보기" 와 6학년의 "두 조건을 동시에 만족하는 값 찾기" 만 알면 풀 수 있어요!

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