AMC 8 · 2014 · #23

학년 6 number-theorylogic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

prime-numberslogical-deductionbound-inequality-then-enumerate bound-inequality-then-enumeratesystematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: prime-numberslogical-deduction

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

애슐리, 베서니, 케이틀린의 소프트볼 유니폼 번호는 모두 두 자리 소수입니다. 세 번호 중 두 개씩 더한 합은 모두 이번 달의 날짜를 나타냅니다 — 애슐리 + 케이틀린 = 베서니의 생일(이번 달 앞쪽), 애슐리 + 베서니 = 케이틀린의 생일(이번 달 뒤쪽), 베서니 + 케이틀린 = 오늘 날짜(두 생일 사이). 케이틀린의 등번호를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

후보군이 매우 좁습니다 — 두 자리 소수 중에서도 둘씩 더한 합이 달력 위에 올라갈 만큼 (31 이하) 작은 것만 가능합니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 두 자리 소수를 작은 것부터 적어 놓고, 도구 #3(가능성 지우기) 으로 19 이상의 소수를 모두 잘라냅니다 — 다른 두 자리 소수와 더하면 31 을 넘기 때문입니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 문제를 두 조각 — (가) 어떤 세 소수가 쓰이는가, (나) 누가 어느 번호를 다는가 — 으로 분리해 줍니다. (나) 는 대수 없이 날짜 부등식만 연결하면 끝납니다.

1STEP 1

두 자리 소수 나열: 11, 13, 17, 19, 23, … 두 수의 합이 31 이하여야 하니 앞쪽 몇 개면 충분.

두 자리 소수: 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, …

2STEP 2

19 이상은 탈락: 13 + 19 = 32 ＞ 31. 남는 소수는 11, 13, 17 뿐이라 집합은 {11, 13, 17}.

13 + 19 = 32 ＞ 31 → 19 (와 그 이상) 은 등장 불가 → 집합 = {11, 13, 17}

3STEP 3

{11, 13, 17} 확인: 11 + 13 = 24, 11 + 17 = 28, 13 + 17 = 30 — 모두 31 이하라 세 날짜에 대응.

두 수의 합: 11+13 = 24, 11+17 = 28, 13+17 = 30

4STEP 4

A, B, C가 등번호. 날짜 순서 A + C ＜ B + C ＜ A + B. 공통항을 빼면 A ＜ B, C ＜ A → C ＜ A ＜ B.

A + C ＜ B + C ＜ A + B ⟹ C ＜ A ＜ B

5STEP 5

C ＜ A ＜ B에 맞춰 C = 11, A = 13, B = 17. 케이틀린의 등번호는 11 → 답 (A).

C = 11, A = 13, B = 17 → 케이틀린 = 11 → (A)

정답

되돌려 대입해 봅니다 — 베서니 생일 = A + C = 13 + 11 = 24, 오늘 = B + C = 17 + 11 = 28, 케이틀린 생일 = A + B = 13 + 17 = 30. 24 ＜ 28 ＜ 30 으로 모두 같은 달에 들어가고, 이야기 속 순서 (베서니 먼저, 오늘이 그 다음, 케이틀린이 나중) 과도 정확히 맞습니다. 모든 합이 31 이하라 날짜로도 유효합니다. 답 11 은 선택지 중 가장 작은 값이고, "케이틀린이 세 소수 중 가장 작은 수를 단다" 라는 추론과도 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 "부등식 양변에서 같은 수를 빼도 부등호 방향은 그대로" 라는 6학년 아이디어 하나만 알면 풀려요 — 소수 목록과 날짜 상한 31 이 나머지를 다 해결해 주거든요!

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