경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2014 · #4
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AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
합 85는 홀수인데, 홀수 + 홀수 = 짝수, 짝수 + 짝수 = 짝수입니다. 따라서 두 소수 중 하나는 짝수, 다른 하나는 홀수여야 합니다 — 이것이 도구 #3(가능성 지우기)의 강력한 한 방입니다. 짝수 소수는 2 뿐이므로 한 수는 강제로 2가 되고, 다른 수는 85 - 2 = 83으로 정해집니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)는 보조 수단입니다 — 작은 소수 2, 3, 5, 7, 11, … 을 차례대로 나열하며 85 - p 가 소수인지 확인해도 결국 같은 짝에 도달합니다.
홀짝으로 범위 좁히기
합 85는 홀수인데 홀+홀·짝+짝은 모두 짝수라, 한 소수는 짝수, 다른 하나는 홀수입니다.
홀수 + 짝수 = 홀수라는 2학년 사실 하나로 "두 소수가 모두 홀수" 인 경우를 통째로 제거할 수 있습니다.
2.OA.C.3Eliminate Possibilities유일한 짝수 소수 찾기
2 보다 큰 짝수는 모두 2로 나뉘므로 유일한 짝수 소수는 2 — 두 소수 중 하나는 2 입니다.
"유일한 짝수 소수는 2" 라는 4학년 소수·합성수 사실로 가능성 지우기가 마무리됩니다.
두 소수 중 하나는 반드시 2가 될 수밖에 없다.
▸ 왜?
두 소수가 모두 홀수일 수는 없다. 만약 둘 다 홀수라면 합이 짝수가 되는데 85는 홀수이므로, 하나는 짝수이고 다른 하나는 홀수여야 한다.
▸ 왜?
홀수 두 개를 더하면 언제나 짝수가 되므로, 홀수인 소수 두 개로는 홀수인 합 85에 결코 도달할 수 없다.
▸ 왜?
홀수는 2씩 묶은 묶음에 낱개 하나가 남는 수이므로, 홀수 둘을 더하면 남은 낱개 둘이 다시 2 묶음 하나가 되어 전체가 모두 2 묶음으로만 채워지고, 그래서 짝수가 된다.
▸ 왜?
그중 짝수인 소수는 2뿐이다. 2보다 큰 짝수는 모두 소수가 될 수 없기 때문이다.
▸ 왜?
2보다 큰 짝수는 2씩 묶은 묶음 여러 개로 나누어지므로 2로 나누어떨어진다. 그러면 1과 자기 자신 말고 다른 약수를 가지게 되는데, 소수는 그런 약수를 가질 수 없다.
빼서 나머지 소수 구하기
뺄셈으로 나머지 소수를 구합니다: 85 - 2 = 83.
한 번의 뺄셈으로 두 번째 수가 확정되며, 남은 일은 그 수가 정말 소수인지 확인하는 것뿐입니다.
4.OA.B.4Eliminate Possibilities83이 소수인지 확인하기
√83 ＜ 10이라 2, 3, 5, 7만 확인 — 아무것도 나누지 못하니 83은 소수입니다.
√(83) 이하의 소수만 차례로 나열해 확인하는 것은 단 네 개짜리 작은 도구 #2 리스트입니다.
4.OA.B.4Make A Systematic List두 소수 곱하기
두 소수를 곱합니다: 2 × 83 = 166, 선택지 (E).
2 × 83은 3학년 곱셈입니다 — 83을 두 배 하면 166이 되고 선택지 (E)와 일치합니다.
3.OA.C.7Eliminate Possibilities두 소수의 합이 홀수면 그중 하나는 반드시 2 예요 — 이 4학년 홀짝성 한 방이 문제 전체를 풀어 줍니다.
- 홀짝으로 범위 좁히기
- 유일한 짝수 소수 찾기
- 빼서 나머지 소수 구하기
- 83이 소수인지 확인하기
- 두 소수 곱하기
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