AMC 8 · 2014 · #8

학년 5 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

divisibility-rulesdigit-sumplace-value digit-constraintssystematic-enumeration ↑ 선수 지식: divisibility-rulesplace-value

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문제

수학 동아리 회원 11 명이 초청 강연자에게 각자 같은 금액(달러 단위 정수)을 내서 총 1A2 를 지불했습니다. 여기서 A 는 한 자리 숫자입니다. A 를 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2014 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

A 의 후보는 0, 1, 2, 3, 4 다섯 개뿐이고, 따라서 가능한 총액도 102, 112, 122, 132, 142 다섯 개로 제한됩니다. 후보가 작고 유한할 때 AMC 객관식 문제에서 가장 자연스러운 첫 수는 도구 #3(가능성 지우기) — 각 후보를 11 로 나눠 떨어지지 않으면 지우면 됩니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 그 안에서 후보를 11 로 직접 나눠 정수가 되는지를 확인하는 엔진 역할을 합니다. 대수도 11 의 배수 판정법도 필요 없이, 5 학년이 이해할 수 있는 직접 계산만으로 가장 빠르게 답에 도달합니다.

1STEP 1

회원 11 명이 총액을 똑같이 나눠 내므로, 1A2 는 나머지 없이 11 의 배수 여야 합니다.

1A2 = 11 × (한 사람이 낸 금액)

2STEP 2

A 에 0, 1, 2, 3, 4 를 대입해 다섯 개의 후보 총액 102, 112, 122, 132, 142 를 얻습니다.

{102, 112, 122, 132, 142}

3STEP 3

11 단을 세어 보면 110, 121, 132, 143 이고, 후보 집합에 드는 것은 132 뿐입니다.

11 × 10 = 110, 11 × 11 = 121, 11 × 12 = 132, 11 × 13 = 143

4STEP 4

남은 후보를 나눠 확인합니다: 132 ÷ 11 = 12 로 딱 나누어떨어집니다.

132 ÷ 11 = 12 (나머지 0)

5STEP 5

맞아떨어지는 총액 132 의 십의 자리에서 A = 3, 정답은 (D) 입니다.

1A2 = 132 → A = 3 → (D)

정답

한 사람이 12 씩 냈고 12 × 11 = 132 — 강연자 사례비로 자연스러운 금액이며 A = 3 일 때 1A2 와 정확히 일치합니다. 나머지 후보들도 빠르게 지워집니다: 102 ÷ 11 ≈ 9.27, 112 ÷ 11 ≈ 10.18, 122 ÷ 11 ≈ 11.09, 142 ÷ 11 ≈ 12.91 로 어느 것도 정수가 아닙니다.

💡핵심 정리

선택지가 다섯 개뿐이라면 배수 판정법 없이도 충분해요 — 하나씩 11 로 직접 나눠 보면 끝. AMC 8 은 그런 5학년 나눗셈을 인정해 줍니다.

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