AMC 8 · 2015 · #13

학년 7 arithmeticcounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

mean-median-mode-rangesequences-arithmeticsystematic-enumeration systematic-enumerationidentify-subproblems ↑ 선수 지식: mean-median-mode-rangemulti-digit-arithmetic

📏 짧은 풀이 💡 3 개 인사이트

📘 쉬운 버전 보기 →

문제

집합 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11} 에서 원소 두 개로 이루어진 부분집합 {a, b} 를 하나 빼냅니다. 남은 9 개 수의 평균이 6 이 되도록 하는 부분집합의 개수는 몇 개일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{ 1}$

(B)

$text{ 2}$

(C)

$text{ 3}$

(D)

$text{ 5}$

(E)

$text{ 6}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

모든 쌍을 일일이 시험할 필요는 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 단계 — (1) S 의 합, (2) 남길 9 개 수의 합, (3) 제거할 두 수의 합 — 로 나눕니다. 도구 #13(거꾸로 풀어보기)이 3단계의 엔진입니다: 목표 평균을 알면 남아야 할 합이 정해지고, 그것이 제거할 두 수의 합을 강제합니다. 마지막으로 도구 #6(체계적인 목록 만들기)으로, S 안에서 그 합이 되는 서로 다른 두 원소의 쌍을 모두 나열하면 됩니다.

1STEP 1

전체 집합을 더합니다: 연속된 11 개의 정수의 합은 66.

1 + 2 + … + 11 =

\frac{11 \cdot 12}{2}

= 66

2STEP 2

평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 남길 아홉 개 수의 합은 54 여야 합니다.

남길 합 = 6 × 9 = 54

3STEP 3

전체에서 남길 합을 빼면, 제거할 두 수의 합은 12 여야 합니다.

제거할 합 = 66 - 54 = 12

4STEP 4

집합에서 서로 다른 두 수의 합이 12 가 되는 쌍을, 작은 수를 1 부터 올리며 모두 나열합니다.

{1, 11}, {2, 10}, {3, 9}, {4, 8}, {5, 7}

5STEP 5

부분집합은 서로 다른 원소여야 하므로 {6, 6} 은 제외되어, 다섯 개의 유효한 쌍이 남습니다.

유효한 쌍: {1,11}, {2,10}, {3,9}, {4,8}, {5,7} — 모두 5 쌍 → (D)

정답

text{ 5}

S 는 가운데 값 6 을 중심으로 대칭이고, 남길 평균(6) 도 정확히 그 가운데 값입니다. 따라서 제거하는 두 수의 평균도 6 이어야 하고, 즉 합이 12 가 되어야 합니다. {1,11}, {2,10}, {3,9}, {4,8}, {5,7} 은 정확히 6 을 중심으로 대칭인 다섯 쌍이고, {6, 6} 은 부분집합 조건 때문에 올바르게 제외됩니다. 답 (D) = 5 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 결국 6학년의 "평균 = 합 ÷ 개수" 한 가지와, 7학년에서 배운 쌍 세기만 잘 쓰면 풀려요.

비슷한 유형 더 풀어보기