경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2015 · #13
학년 7 arithmeticcounting답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
모든 쌍을 일일이 시험할 필요는 없습니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 문제를 세 단계 — (1) S 의 합, (2) 남길 9 개 수의 합, (3) 제거할 두 수의 합 — 로 나눕니다. 도구 #13(거꾸로 풀어보기)이 3단계의 엔진입니다: 목표 평균을 알면 남아야 할 합이 정해지고, 그것이 제거할 두 수의 합을 강제합니다. 마지막으로 도구 #6(체계적인 목록 만들기)으로, S 안에서 그 합이 되는 서로 다른 두 원소의 쌍을 모두 나열하면 됩니다.
전체 합 구하기
전체 집합을 더합니다: 연속된 11 개의 정수의 합은 66.
1+11, 2+10, …, 5+7의 다섯 쌍이 각각 12이고 가운데 6이 남으므로 5 · 12 + 6 = 66 — 4학년 수의 규칙성 그대로입니다.
4.OA.B.4Identify Subproblems남는 수들의 합 구하기
평균은 합을 개수로 나눈 값이므로, 남길 아홉 개 수의 합은 54 여야 합니다.
"수 9 개의 평균이 6" 으로부터 합을 거꾸로 구하는 것은 6학년 통계의 평균 정의 그대로입니다.
6.SP.B.5Convert To Algebra빼서 지운 두 수의 합 구하기
전체에서 남길 합을 빼면, 제거할 두 수의 합은 12 여야 합니다.
전체 = 남긴 부분 + 제거된 부분 이므로, 제거된 부분 = 전체 - 남긴 부분. 4학년 한 단계 뺄셈 문장제입니다.
집합에서 빼내는 두 수의 합은 반드시 12가 되어야 한다.
▸ 왜?
빼낸 두 수의 합이 정해지는 이유는, 전체 집합과 남긴 아홉 수가 모두 고정되어 있고, 빼낸 부분은 전체에서 남긴 부분을 뺀 것일 뿐이기 때문이다.
▸ 왜?
세 합은 서로 묶여 있다: 빼낸 두 수와 남긴 아홉 수를 합치면 정확히 열한 수 전체이므로, 빼낸 합은 전체 합에서 남긴 합을 뺀 값과 같다.
▸ 왜?
열한 수를 빼낸 두 수와 남긴 아홉 수로 나누면 빠뜨리는 것도 두 번 세는 것도 없으므로, 두 묶음의 합은 다시 전체 합이 된다.
▸ 왜?
"전체 = 빼낸 것 + 남긴 것"에서 빼낸 합을 읽어내는 것은 덧셈을 되돌리는 것, 즉 전체 합에서 남긴 합을 빼는 것이다.
▸ 왜?
고정된 두 합은 모두 알려져 있다: 열한 수 전체는 66이고 남긴 아홉 수는 반드시 54여야 하며, 66에서 54를 빼면 12가 남는다.
▸ 왜?
열한 수의 합은 66인데, 1과 11, 2와 10, 3과 9, 4와 8, 5와 7을 12씩 같은 합으로 짝짓고 가운데 6을 더해 확인할 수 있다 — 더하는 순서를 바꿔도 합은 변하지 않는다.
▸ 왜?
남긴 아홉 수의 합은 반드시 54인데, 평균 6은 그 합을 아홉 수에 똑같이 나눈 것일 뿐이므로, 합은 그 평균을 아홉 번 취한 것과 같다: 6 × 9 = 54.
합이 12인 짝 적기
집합에서 서로 다른 두 수의 합이 12 가 되는 쌍을, 작은 수를 1부터 올리며 모두 나열합니다.
a = 1, 2, 3, … 으로 늘리며 b = 12 - a 를 읽어 내려가는 것은 5학년 "두 가지 규칙으로 수열 만들기" 그대로입니다.
5.OA.B.3Guess And Check가능한 짝 세기
부분집합은 서로 다른 원소여야 하므로 {6, 6}은 제외되어, 다섯 개의 유효한 쌍이 남습니다.
조건을 만족하는 "서로 다른 두 원소의 순서 없는 쌍" 을 세는 것은 7학년 복합사건·표본공간 사고와 같습니다.
7.SP.C.8Guess And Check이 AMC 8 문제는 결국 6학년의 "평균 = 합 ÷ 개수" 한 가지와, 7학년에서 배운 쌍 세기만 잘 쓰면 풀려요.
- 전체 합 구하기
- 남는 수들의 합 구하기
- 빼서 지운 두 수의 합 구하기
- 합이 12인 짝 적기
- 가능한 짝 세기
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