AMC 8 · 2015 · #22

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

divisor-countprime-factorizationlcmfactorsmultiples systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: factorsmultiplesdivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 무리의 학생들이 모든 줄에 같은 인원으로 늘어섭니다. 6월 1일에는 한 줄에 15 명, 6월 2일에는 모두 한 줄로(긴 한 줄로) 늘어서고, 6월 3일에는 한 줄에 1 명, 6월 4일에는 한 줄에 6 명입니다. 6월 12일까지 매일 새로운 인원 수로 줄을 짤 수 있었지만, 6월 13일에는 더 이상 새 방식을 찾지 못합니다. 학생 수가 될 수 있는 가장 작은 값은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

1080

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

매일의 배치는 N 의 약수 하나에 대응하므로, "12 일은 되지만 13 일째는 안 된다" 는 곧 N 의 약수가 정확히 12 개라는 조건입니다. 이렇게 조건이 한 줄로 정리되면 다음은 도구 #3(가능성 지우기) 으로 다섯 선택지를 걸러 내면 됩니다 — 약수 조건(15 ∣ N, 6 ∣ N, 즉 30 ∣ N) 을 어기는 것, 그리고 약수 개수가 12 가 아닌 것을 차례로 지웁니다. 약수 개수는 도구 #2(빠짐없이 나열하기) 로 후보별 약수를 작은 것부터 차례로 짝지어 적고 세면 빠뜨림 없이 확인할 수 있습니다. 작은 선택지부터 차례로 검사하면 두 조건을 모두 통과하는 첫 후보가 답입니다.

1STEP 1

한 줄 인원 k 는 N = r × k 이므로 N 의 약수 — 매일의 배치는 곧 N 의 약수입니다.

N = r × k ⟺ k ∣ N

2STEP 2

12일 동안 새 배치, 13일째 없음 → N 의 약수는 정확히 12개.

d(N) = 12

3STEP 3

15 와 6 이 N 을 나누니 lcm(15, 6) = 30 도 나눔; 30 의 배수가 아닌 (A) 21 제외.

lcm(15, 6) = 30, 따라서 30 ∣ N. (A) 21 제외.

4STEP 4

30 의 약수를 짝지어 나열: 1·30, 2·15, 3·10, 5·6 — 8개뿐, 12개가 아니므로 (B) 제외.

30 의 약수: 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 — 개수 = 8, 12 가 아님. (B) 제외.

5STEP 5

60 의 약수를 짝지어 나열하면 6쌍 → 정확히 12개, 15 와 6 도 모두 있음.

60 의 약수: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60 — 개수 = 12. ✓

6STEP 6

60 은 두 조건을 모두 통과하고 90, 1080 보다 작으므로 최소 후보입니다.

답: 60 → (C)

정답

60 이 모든 단서와 맞는지 다시 확인합니다.

\frac{60}{15}

= 4 줄(6월 1일 ✓),

\frac{60}{1}

= 60 줄(6월 2일 ✓),

\frac{60}{60}

= 1 줄(6월 3일 ✓),

\frac{60}{6}

= 10 줄(6월 4일 ✓). 약수 목록 {1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, 60} 의 크기는 정확히 12 이므로 6월 1~12일은 매일 새 배치를 얻고 13일에는 더 이상 남은 값이 없습니다. 조건이 모두 성립합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 약수·배수 추론만 알면 풀 수 있어요 — "줄" 을 약수로 옮기고, 선택지를 차례로 검사하면 끝!

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