AMC 8 · 2015 · #23

학년 6 logicarithmetic

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

sequences-arithmeticparityfraction-arithmeticlogical-deduction caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: multi-digit-arithmeticlinear-equations-one-var

📏 긴 풀이 💡 4 개 인사이트

문제

톰은 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 3, 3.5, 4, 4.5 가 적힌 종이 12 장을 A, B, C, D, E 다섯 컵에 나누어 담으려고 합니다. 각 컵에 담긴 종이 숫자들의 합은 정수여야 하고, 다섯 합은 A 부터 E 까지 증가하는 연속된 정수여야 합니다. 이미 2 한 장이 컵 E 에, 3 한 장이 컵 B 에 들어 있습니다. 3.5 는 어느 컵에 들어가야 할까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

모든 배치를 한꺼번에 뒤지지 말고, 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 세 단계로 잘라 풉니다 — (1) 종이 전체 합을 구하고, (2) 그 합으로부터 다섯 컵의 목표 합을 확정한 뒤, (3) 3.5 가 어느 컵에 들어갈 수 있는지 따집니다. 다섯 컵 목표가 정해지면 세 번째 단계는 도구 #3(가능성 지우기) 의 전형 — 각 컵에 3.5 를 넣어 보고, 남은 종이로 목표 합을 만들 수 없는 컵을 차례로 지웁니다. 이미 고정된 종이(E 의 2, B 의 3)와 .5 짜리 종이의 짝수 규칙이 대부분의 후보를 쳐 줍니다.

1STEP 1

같은 값끼리 묶어 더하면 2·3=6, 2.5·2=5, 3·4=12에 3.5, 4, 4.5를 더해 총합은 35.

6 + 5 + 12 + 3.5 + 4 + 4.5 = 35

2STEP 2

연속된 다섯 정수의 평균이 35÷5=7이므로 합은 5, 6, 7, 8, 9 — A=5, B=6, C=7, D=8, E=9.

평균 = 35 ÷ 5 = 7 → A=5, B=6, C=7, D=8, E=9

3STEP 3

3.5를 A(합 5)에 넣으면 나머지는 5−3.5=1.5인데 가장 작은 종이 2보다 작아 A는 탈락.

5 - 3.5 = 1.5 ＜ 2 = min(남은 종이) → 불가능

4STEP 4

3.5를 B(합 6)에 넣으면 이미 있는 3과 합쳐 3+3.5=6.5로 6을 넘겨 B는 탈락.

3 + 3.5 = 6.5 ＞ 6 → 불가능

5STEP 5

3.5를 C(합 7)에 넣으면 나머지 3.5를 만들 수 없어(2.5엔 1이 필요, 두 장이면 최소 4) C는 탈락.

7 - 3.5 = 3.5; 3.5 - 2.5 = 1 ∉ 종이 → 불가능

6STEP 6

3.5를 E(합 9)에 넣으면 이미 있는 2 때문에 나머지 9−2−3.5=3.5로 C와 같은 막다른 길, E는 탈락.

9 - 2 - 3.5 = 3.5 → 컵 C 와 같은 막다른 길

7STEP 7

남은 건 D(합 8)뿐: 8−3.5=4.5가 딱 하나뿐인 4.5 종이와 맞아, 3.5는 컵 D에 들어가야 합니다.

8 - 3.5 = 4.5 = 사용 가능한 종이 → (D)

정답

컵 D = {3.5, 4.5} 가 의미하는 전체 배치가 정말 들어맞는지 확인합니다. 남은 종이: 2, 2, 2, 2.5, 2.5, 3, 3, 3, 4 (그리고 컵 E 의 고정 2, 컵 B 의 고정 3). 컵 A=5: {2, 3}. 컵 B=6: 이미 3 이 있고 3 을 더해 6. 컵 C=7: {2.5, 2.5, 2}=7. 컵 E=9: 이미 2 가 있고 3 과 4 를 더해 9. 모든 종이가 쓰였고 모든 합이 목표와 일치합니다. (D) 와 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 컵 합을 구하는 6학년 방정식 추론과 꼼꼼한 가능성 지우기만 있으면 풀려요 — 둘 다 이미 배운 도구입니다!

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