AMC 8 · 2015 · #24

학년 7 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

linear-diophantinedivisibility-rulescombinations-basic convert-to-algebrabound-inequality-then-enumeratecasework ↑ 선수 지식: linear-equations-one-vardivisibility-rules

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

한 야구 리그가 각각 4 팀씩 들어 있는 두 디비전으로 구성됩니다. 같은 디비전 안에서는 두 팀이 서로 N 번씩 경기를 하고, 다른 디비전 팀과는 M 번씩 경기를 합니다. 조건은 N ＞ 2M, M ＞ 4 이고 각 팀은 한 시즌에 총 76 경기를 치릅니다. 한 팀이 같은 디비전 팀과 치르는 경기 수는 몇 경기일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 식 세우기

먼저 도구 #1(식 세우기) 로 한 팀이 디비전별로 만나는 상대 수를 센 뒤 "총 76 경기" 라는 조건을 N, M 에 대한 한 줄짜리 일차식으로 옮깁니다. 이 식 하나만으로는 해가 무수히 많기 때문에, 도구 #12(경우 나누기) 로 두 부등식 (N ＞ 2M, M ＞ 4) 과 "N, M 은 정수" 라는 조건을 합쳐서 M 의 후보를 {5, 6, 7} 로 좁힌 다음, 각 경우에 N 이 정수가 되는지 확인합니다. 살아남는 한 쌍이 곧 답입니다.

1STEP 1

한 팀은 같은 디비전 3 팀(3N 경기)과 다른 디비전 4 팀(4M)을 만나므로 3N + 4M = 76.

3N + 4M = 76

2STEP 2

N ＞ 2M 을 M 만의 조건으로 바꾸려고 식을 정리하면 N = $\frac{76 - 4M}{3}$ .

3N = 76 - 4M → N =

\frac{76 - 4M}{3}

3STEP 3

N ＞ 2M 에 대입하면 M ＜ 7.6, 여기에 M ＞ 4 와 정수 조건을 더하면 M ∈ {5, 6, 7}.

\frac{76 - 4M}{3}

＞ 2M → 76 - 4M ＞ 6M → 76 ＞ 10M → M ＜ 7.6. M ＞ 4 이고 M 이 정수이므로 M ∈ {5, 6, 7}.

4STEP 4

76 - 4M 이 3 의 배수가 되는 경우는 M = 7 뿐이라 M = 5, 6 은 탈락하고 N = 16.

M = 5: 76 - 20 = 56,

\frac{56}{3}

은 정수가 아님. M = 6: 76 - 24 = 52,

\frac{52}{3}

은 정수가 아님. M = 7: 76 - 28 = 48,

\frac{48}{3}

= 16. ✓

5STEP 5

16 ＞ 2 × 7 이 성립함을 확인하면 같은 디비전 경기 수는 3N = 3 × 16 = 48.

N = 16, M = 7: N ＞ 2M ⇔ 16 ＞ 14 ✓. 같은 디비전 경기 수 = 3N = 3 × 16 = 48 → (B).

정답

N = 16, M = 7 을 원래 식에 다시 넣으면 3(16) + 4(7) = 48 + 28 = 76. ✓ 두 부등식도 16 ＞ 2 · 7 = 14, 7 ＞ 4 로 모두 성립합니다. 48(같은 디비전) + 28(다른 디비전) = 76 이 깔끔하게 맞고, 같은 디비전 경기가 시즌의 절반을 넘는 것도 "N ＞ 2M" — 같은 디비전 상대를 다른 디비전 상대보다 더 자주 만난다 — 이라는 조건과 일치합니다.

💡핵심 정리

총 경기 수를 한 줄 식으로 적고, 부등식과 "경기 수는 정수" 라는 규칙으로 후보를 줄여 나가면 결국 (N, M) 한 쌍만 남아요.

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