AMC 8 · 2015 · #5

학년 6 arithmetic

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mean-median-mode-range caseworksystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticmulti-digit-arithmetic

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

빌리네 농구팀이 11 경기에서 42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73 점을 얻었습니다. 12 번째 경기에서 40 점을 추가했을 때, 다섯 통계량 — 범위(range), 중앙값(median), 평균(mean), 최빈값(mode), 중간범위(mid-range) — 중 12 경기 데이터에서 값이 더 커지는 것은 어떤 것인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$text{range}$

(B)

$text{median}$

(C)

$text{mean}$

(D)

$text{mode}$

(E)

$text{mid-range}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 가능성 지우기

다섯 가지 통계량 중 "증가하는 것" 을 찾는 전형적인 도구 #3(가능성 지우기) 문제입니다 — 각 통계량을 추가 전과 후로 계산해, 변하지 않거나 줄어든 것은 후보에서 지워냅니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 은 다섯 통계량을 각각 공식이 분명한 작은 문제로 떼어내어 계산을 깔끔하게 정리해 줍니다. 시작 전부터 두 가지 구조적 사실로 부담을 절반으로 줄일 수 있어요 — 40 은 새 최솟값이라 최솟값에 의존하는 양만 영향을 받고, 40 은 기존 평균보다 작아 평균을 끌어내립니다. 따라서 평균과 중간범위는 감소가 거의 확정이고, 남는 유력 후보는 범위입니다.

1STEP 1

최댓값은 73 그대로, 최솟값이 42 에서 40 으로 내려가 범위는 31 에서 33 으로 커집니다.

이전 범위 = 73 - 42 = 31, 새 범위 = 73 - 40 = 33. 33 ＞ 31 이므로 범위는 증가.

2STEP 2

40 이 맨 앞에 들어와도 6·7 번째가 모두 58 이라 중앙값은 58 로 그대로입니다.

기존 정렬 리스트의 6 번째 값 = 58. 새 정렬 리스트: 40, 42, 47, 53, 53, 58, 58, 58, 61, 64, 65, 73. 6 번째와 7 번째가 모두 58 이므로 새 중앙값 = (58 + 58)/2 = 58. 변화 없음.

3STEP 3

합이 672, 12 로 나누면 평균은 약 57.45 에서 56 으로 내려갑니다.

기존 합 = 42+47+53+53+58+58+58+61+64+65+73 = 632. 기존 평균 =

\frac{632}{11}

≈ 57.45. 새 합 = 632 + 40 = 672. 새 평균 =

\frac{672}{12}

= 56. 56 ＜ 57.45 이므로 평균은 감소.

4STEP 4

58 은 이미 3 번, 40 은 한 번뿐이라 최빈값은 58 로 그대로입니다.

기존 최빈값 = 58 (빈도 3). 새 최빈값 = 58 (빈도 3, 새로 들어온 40 의 빈도는 1). 변화 없음.

5STEP 5

최댓값 73, 최솟값 40 이라 중간범위는 57.5 에서 56.5 으로 내려갑니다.

기존 중간범위 =

\frac{73 + 42}{2}

= 57.5. 새 중간범위 =

\frac{73 + 40}{2}

= 56.5. 56.5 ＜ 57.5 이므로 중간범위는 감소.

6STEP 6

중앙값·최빈값은 그대로, 평균·중간범위는 감소 — 오직 범위만 커졌습니다.

→ (A) 범위

정답

text{range}

두 가지 구조적 확인으로 답을 검증할 수 있어요. (1) 새 점수 40 은 새 최솟값이고, 최솟값에 영향을 받는 통계량은 범위와 중간범위뿐입니다. 그중 범위 = max - min 은 최솟값이 내려가면 커지고, 중간범위 =

\frac{max + min}{2}

는 최솟값이 내려가면 작아지므로 증가가 가능한 것은 범위뿐입니다. (2) 평균은 감소(새 값이 기존 평균보다 작음), 중앙값과 최빈값은 세 개의 58 에 묶여 있으므로, 남는 후보는 자연스럽게 범위입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 평균·중앙값·최빈값·범위·중간범위 감만 있으면 풀 수 있어요!

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