AMC 8 · 2015 · #7

학년 7 probability

유형 Overlap / Complement Counting └ 세부 유형 Parity Partition: Complement via Odd-Even Split

probability-basicparitysystematic-enumeration complementary-countingsystematic-enumeration ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticparity

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문제

1, 2, 3 이 적힌 칩 세 장이 들어 있는 상자가 두 개 있습니다. 각 상자에서 칩을 무작위로 한 장씩 뽑아 두 수를 곱합니다. 그 곱이 짝수일 확률은 얼마일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{9}$

(B)

$frac{2}{9}$

(C)

$frac{4}{9}$

(D)

$frac{1}{2}$

(E)

$frac{5}{9}$

AMC 8 2015 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

전체 경우가 3 × 3 = 9 가지뿐이라 모든 순서쌍을 직접 적을 수 있는 크기 — 도구 #2(빠짐없이 나열하기)가 가장 깔끔합니다. "곱이 짝수" 라는 표현은 도구 #16(관점 바꾸기) 의 전형적 트리거입니다 — 짝수 경우는 여러 가지지만 "곱이 홀수" 이려면 두 수 모두 홀수여야 해서 2 × 2 = 4 가지뿐이거든요. 다섯 경우를 더하는 대신 1 - $\frac{4}{9}$ 로 끝냅니다. 도구 #3(가능성 지우기) 은 검산용 — 다섯 선택지 중 9 분의 수로 표현 가능한 답은 하나뿐입니다.

1STEP 1

곱셈 원리로 셉니다 — 1번·2번 상자 각 3가지씩이라 같은 확률의 순서쌍 (a, b) 는 3 × 3 = 9개입니다.

3 × 3 = 9 가지

2STEP 2

홀짝 규칙: a × b 는 둘 다 홀수일 때만 홀수 — 그래서 더 간단한 여집합(두 수 모두 홀수)을 세기로 합니다.

a × b 가 홀수 ⇔ a 가 홀수 AND b 가 홀수

3STEP 3

각 상자의 홀수 칩은 {1, 3} — 홀수 곱 순서쌍은 2 × 2 = 4개: (1,1), (1,3), (3,1), (3,3).

2 × 2 = 4 가지 (홀수 곱)

4STEP 4

전체에서 빼면 9 - 4 = 5가지가 짝수 곱 — (1,2), (2,1), (2,2), (2,3), (3,2).

9 - 4 = 5 가지 (짝수 곱)

5STEP 5

확률 = 유리한 경우 ÷ 전체 = $\frac{5}{9}$ — 선택지 (E) 와 일치합니다.

P(곱이 짝수) =

\frac{5}{9}

→ (E)

정답

frac{5}{9}

답의 크기를 검산합니다. 어느 상자에서든 2 가 뽑히는 순간 곱은 강제로 짝수가 되는데, 그 경우만 해도 꽤 많습니다. 1번 상자에서 2 가 나올 확률은

\frac{1}{3}

, 2번 상자에서도

\frac{1}{3}

이므로 P(적어도 한 번 2) = 1 -

\frac{2}{3}

\frac{2}{3}

= 1 -

\frac{4}{9}

\frac{5}{9}

. 같은 답

\frac{5}{9}

가 독립적으로 확인되며, 더 작은 (A)

\frac{1}{9}

, (B)

\frac{2}{9}

, (C)

\frac{4}{9}

와 대칭적으로 그럴듯해 보이는 (D)

\frac{1}{2}

는 모두 배제됩니다.

💡핵심 정리

"곱이 짝수" 라는 문제가 나오면 거꾸로 "곱이 홀수" 인 경우를 세 보세요 — 두 수 모두 홀수인 한 경우만 따지면 됩니다.

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