AMC 8 · 2016 · #11

학년 6 algebranumber-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

place-valuelinear-equations-two-vardigit-sum convert-to-algebrasystematic-enumerationdigit-constraints ↑ 선수 지식: place-valuelinear-equations-one-var

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문제

두 자리 수 N 에 대해, N 과 N 의 자리수를 뒤집은 수를 더한 값이 132 가 되는 N 이 몇 개인지 세는 문제입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 변수 사용하기

조건이 "자리수" 에 대한 진술이므로, 도구 #5(변수 사용하기) 로 십의 자리를 t, 일의 자리를 u 라 두고 N = 10t + u 로 자릿값 표현을 만들면 좋습니다. N 과 뒤집은 수 10u + t 를 더하면 11(t+u) = 132 가 깔끔하게 나오고, 이를 정리하면 t + u = 12 가 됩니다. 조건이 두 자리 숫자에 대한 한 식으로 줄면 도구 #13(체계적으로 작업하기) 이 나설 차례 — t + u = 12, 1 ≤ t ≤ 9, 0 ≤ u ≤ 9 를 만족하는 (t, u) 를 모두 적고 살아남는 개수를 셉니다.

1STEP 1

십의 자리를 t, 일의 자리를 u 라 하면 N = 10t + u, 뒤집은 수는 10u + t 입니다.

N = 10t + u, 뒤집은 수 = 10u + t

2STEP 2

N 과 뒤집은 수를 더해 합을 132 로 놓으면 (10t + u) + (10u + t) = 132 입니다.

(10t + u) + (10u + t) = 132

3STEP 3

동류항을 묶어 11(t + u) = 132 로 만든 뒤 11 로 나누면 t + u = 12 입니다.

11t + 11u = 132 → 11(t + u) = 132 → t + u = 12

4STEP 4

t 는 1~~9, u = 12 - t 로 두고 u 도 0~~9 인 유효한 한 자리 수가 되는 쌍만 남깁니다.

t & u = 12 - t & 유효? ; 1 & 11 & 아니오, u ＞ 9 ; 2 & 10 & 아니오, u ＞ 9 ; 3 & 9 & 예 ; 4 & 8 & 예 ; 5 & 7 & 예 ; 6 & 6 & 예 ; 7 & 5 & 예 ; 8 & 4 & 예 ; 9 & 3 & 예

5STEP 5

각 유효한 쌍은 수 N = 10t + u 하나에 대응하므로, 세어 보면 7 개 — 정답은 (B) 입니다.

N ∈ {39, 48, 57, 66, 75, 84, 93} → 7 개 → (B)

정답

샘플 검증: 39 + 93 = 132. 통과. 다른 수: 66 + 66 = 132. 통과. 유효한 십의 자리 t 는 3 부터 9 까지로, 9 - 3 + 1 = 7 개 — 위 개수와 일치합니다. 또 뒤집은 수 목록 {93, 84, 75, 66, 57, 48, 39} 은 원래 목록을 단순히 뒤집은 것이라, 빠진 수도 중복된 수도 없습니다 (우리는 N 의 십의 자리 t 로 분류했기 때문).

💡핵심 정리

두 자리 수를 10t + u 로 적는 순간 이 문제는 6학년 방정식 t + u = 12 로 바뀌어요 — 그 뒤엔 조건에 맞는 자리수 쌍만 적으면 끝!

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