경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2016 · #11
학년 6 algebranumber-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
조건이 "자리수" 에 대한 진술이므로, 도구 #5(변수 사용하기)로 십의 자리를 t, 일의 자리를 u 라 두고 N = 10t + u 로 자릿값 표현을 만들면 좋습니다. N 과 뒤집은 수 10u + t 를 더하면 11(t+u) = 132가 깔끔하게 나오고, 이를 정리하면 t + u = 12가 됩니다. 조건이 두 자리 숫자에 대한 한 식으로 줄면 도구 #13(체계적으로 작업하기)이 나설 차례 — t + u = 12, 1 ≤ t ≤ 9, 0 ≤ u ≤ 9를 만족하는 (t, u)를 모두 적고 살아남는 개수를 셉니다.
자리값으로 나타내기
십의 자리를 t, 일의 자리를 u 라 하면 N = 10t + u, 뒤집은 수는 10u + t 입니다.
자릿값(4학년) 개념 — 십의 자리 숫자는 자기 값의 10 배만큼, 일의 자리 숫자는 자기 값만큼 기여합니다.
4.NBT.A.1Look For A Pattern조건을 식으로 옮기기
N 과 뒤집은 수를 더해 합을 132 로 놓으면 (10t + u) + (10u + t) = 132입니다.
문장 조건을 대수 방정식으로 옮기는 것은 6학년 "식과 방정식" 활동입니다.
6.EE.A.2Look For A Pattern자릿수의 합 구하기
동류항을 묶어 11(t + u) = 132로 만든 뒤 11로 나누면 t + u = 12 입니다.
11t + 11u 를 11(t+u)로 묶는 것은 분배법칙 — 6학년 "동치인 식 만들기" 그대로입니다.
두 자리 수와 그 숫자를 뒤집은 수를 더해 132가 된다면, 십의 자리 숫자와 일의 자리 숫자의 합은 반드시 12가 되어야 한다.
▸ 왜?
원래 수와 뒤집은 수를 더하고 같은 자리 숫자끼리 묶으면 십의 자리 숫자 열한 개와 일의 자리 숫자 열한 개가 되며, 이는 두 숫자의 합의 열한 배이다.
▸ 왜?
자리값에 따라 원래 수는 10 × (십의 자리 숫자) + (일의 자리 숫자)이고 뒤집은 수는 10 × (일의 자리 숫자) + (십의 자리 숫자)인데, 십의 자리는 그 숫자의 열 배 값을 갖기 때문이다.
▸ 왜?
어떤 숫자 열 개에 하나를 더 더하면 열한 개이고, 십의 자리 숫자 열한 개와 일의 자리 숫자 열한 개는 두 숫자를 합한 것의 열한 배인데, 공통된 인수는 합에서 밖으로 묶어낼 수 있기 때문이다.
▸ 왜?
열한 배 한 것이 132이므로 숫자의 합은 132 ÷ 11 = 12가 되어야 하는데, 11로 나누는 것이 11을 곱한 것을 되돌리기 때문이다.
자릿수 조건 적용하기
t 는 19, u = 12 - t 로 두고 u 도 09 인 유효한 한 자리 수가 되는 쌍만 남깁니다.
후보 t 값을 t + u = 12에 대입해 자리수 범위 안인지 확인하는 것은 6학년 "어떤 값이 식을 참으로 만드는가" 개념입니다.
6.EE.B.5Convert To Algebra가능한 쌍 세기
각 유효한 쌍은 수 N = 10t + u 하나에 대응하므로, 세어 보면 7 개 — 정답은 (B)입니다.
만들어진 목록의 원소 수를 세는 것은 4학년 "패턴 분석" 마무리 단계입니다.
4.OA.C.5Convert To Algebra두 자리 수를 10t + u 로 적는 순간 이 문제는 6학년 방정식 t + u = 12로 바뀌어요 — 그 뒤엔 조건에 맞는 자리수 쌍만 적으면 끝!
- 자리값으로 나타내기
- 조건을 식으로 옮기기
- 자릿수의 합 구하기
- 자릿수 조건 적용하기
- 가능한 쌍 세기
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