경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4

AMC 10 · 2021B · #11

학년 6 geometry-2d

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Sum-Target Search

simons-favorite-factoring-trickfactorsarea-rectanglesoptimization-counting convert-to-algebrasystematic-enumeration ↑ 선수 지식: area-rectanglesfactors

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

할머니가 직사각형 브라우니 팬을 양 변에 평행한 직선 자름으로 똑같은 크기의 직사각형 조각으로 나눕니다. 한 변에 m 조각, 다른 변에 n 조각이 늘어서면 팬은 m × n 격자가 됩니다. 가장자리 조각 수와 내부 조각 수가 같게 하려면, 전체 조각 수 mn 의 최댓값은 얼마인가요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 10 2021 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림): m × n 격자를 그리고 안쪽 (m-2) × (n-2) 블록을 색칠. 그림에서 조건이 (m-2)(n-2) = 2(m+n) - 4로 정리됨. 도구 #13(대수)으로 식을 (m-4)(n-4) = 8로 깔끔하게 변형. 도구 #2(나열)으로 8의 양의 인수쌍을 모두 적어 (m, n) 후보를 찾고, 도구 #3(가능성 지우기)로 mn 이 최대인 것을 골라 선택지와 매칭.

1STEP 1

팬을 격자로 그리기

m × n 격자를 그리면 안쪽 (m-2) × (n-2) 블록이 내부, 내부 = (m-2)(n-2), 둘레 = mn - (m-2)(n-2).

내부 = (m-2)(n-2), 둘레 = mn - (m-2)(n-2)

2STEP 2

가장자리와 안쪽 같게 놓기

둘레 = 내부: mn - (m-2)(n-2) = (m-2)(n-2), 따라서 mn = 2(m-2)(n-2) = 2mn - 4m - 4n + 8.

mn = 2(m-2)(n-2) = 2mn - 4m - 4n + 8

3STEP 3

식 인수분해하기

모두 한쪽으로 모으고 양변에 16을 더해 인수분해: mn - 4m - 4n + 16 = 8, 즉 (m-4)(n-4) = 8.

(m-4)(n-4) = 8

4STEP 4

8의 약수 쌍 나열하기

m, n ≥ 3 이므로 두 인수는 양수; 8의 인수쌍을 나열: (1,8), (2,4), (4,2), (8,1).

(m-4, n-4) ∈ {(1,8),(2,4),(4,2),(8,1)}

5STEP 5

격자 크기 되돌리기

(m, n) 복원: 팬은 5 × 12와 6 × 8 두 종류, 전체 수는 5 · 12 = 60, 6 · 8 = 48.

(m, n) = (5,12) → mn = 60; (m,n) = (6,8) → mn = 48

6STEP 6

가장 큰 개수 고르기

더 큰 값 60 ＞ 48 채택; 5 × 12 검산: 내부 = 3 · 10 = 30 = 둘레 60 - 30, 최댓값은 (D).

max(mn) = 60 → (D)

정답

5 × 12 팬 직접 검산. 전체 60 조각. 가장자리: 위 12 + 아래 12 + 왼쪽(모서리 제외) 3 + 오른쪽(모서리 제외) 3 = 30. 내부: 3 · 10 = 30. 정확히 일치 — 조건 충족. 그리고 60 ＞ 6 · 8 = 48 이므로 유효한 팬 중 최댓값. 실제 브라우니 팬 크기로도 자연스럽고, 답 (D)와 일치.

💡핵심 정리

이 AMC 10 문제는 사실 6학년 때 배운 동치식 변형만 알면 풀 수 있어요! m × n 팬에서 '내부 = 둘레' 조건은 (m-2)(n-2) = mn - (m-2)(n-2). 양변에 16을 더하는 트릭으로 (m-4)(n-4) = 8. 8의 인수쌍에서 팬은 5 × 12와 6 × 8, 최대 조각 수 5 · 12 = 60, 답 (D).

팬을 격자로 그리기
가장자리와 안쪽 같게 놓기
식 인수분해하기
8의 약수 쌍 나열하기
격자 크기 되돌리기
가장 큰 개수 고르기

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