AMC 8 · 2016 · #15

학년 6 number-theoryalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation

prime-factorizationexponentsfactors identify-subproblemseasier-related-problem ↑ 선수 지식: prime-factorizationexponents

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

문제

13⁴ - 11⁴ 을 나머지 없이 나누는 가장 큰 2 의 거듭제곱 — 즉, 2^k 가 나누어 떨어지게 하는 가장 큰 k — 을 구합니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$mbox{ }8$

(B)

$mbox{ }16$

(C)

$mbox{ }32$

(D)

$mbox{ }64$

(E)

$mbox{ }128$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

13⁴ - 11⁴ = 13920 을 직접 계산할 수도 있지만, 그 다음 13920 을 소인수분해해야 해서 손이 많이 갑니다. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 을 쓰면 더 깔끔합니다 — 제곱 차 공식 a² - b² = (a-b)(a+b) 를 두 번 써서 13⁴ - 11⁴ 을 (13-11), (13+11), (13² + 11²) 세 개의 작은 인수로 쪼개고, 각 인수에서 2 의 개수를 따로 세면 됩니다. 도구 #9(더 쉬운 문제로 줄이기) 가 이를 뒷받침해 줍니다 — 5² - 3² 같은 작은 경우로 공식을 확인하면 안심하고 큰 수에 적용할 수 있습니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 이나 우직한 직접 나눗셈은 일부러 피합니다 — 인수분해가 일을 대신 해 주니까요.

1STEP 1

규칙 a² - b² = (a-b)(a+b) 를 작은 5² - 3² 로 시험: 양쪽 다 16 이라 안심하고 씁니다.

5² - 3² = 16 이고 (5-3)(5+3) = 2 × 8 = 16

2STEP 2

13⁴, 11⁴ 을 (13²)², (11²)² 로 보고 공식을 한 번 써서 (13² - 11²)(13² + 11²) 로 쪼갭니다.

13⁴ - 11⁴ = (13²)² - (11²)² = (13² - 11²)(13² + 11²)

3STEP 3

첫 인수 13² - 11² 도 제곱 차라 한 번 더 쪼갭니다: (13-11)(13+11) = 2 × 24.

13² - 11² = (13 - 11)(13 + 11) = 2 × 24, 따라서 13⁴ - 11⁴ = 2 × 24 × (13² + 11²)

4STEP 4

세 번째 인수는 덧셈: 13² + 11² = 169 + 121 = 290, 따라서 전체 곱은 2 × 24 × 290 입니다.

13² + 11² = 169 + 121 = 290, 따라서 13⁴ - 11⁴ = 2 × 24 × 290

5STEP 5

각 인수의 2: 2 = 2¹, 24 = 2³ × 3, 290 = 2¹ × 145. 지수 합 1 + 3 + 1 = 5 → 답은 2⁵.

2¹ × (2³ × 3) × (2¹ × 145) = 2¹⁺³⁺¹ × 3 × 145 = 2⁵ × 435 = 32 × 435 → (C)

정답

mbox{ }32

직접 확인: 13⁴ = 28561, 11⁴ = 14641 이므로 13⁴ - 11⁴ = 13920. 계속 반으로 나눠 봅니다 — 13920 → 6960 → 3480 → 1740 → 870 → 435. 홀수가 될 때까지 정확히 5 번 나눴으므로 13920 = 2⁵ × 435 = 32 × 435. 인수분해로 얻은 답 32 와 정확히 일치하므로 (C) 가 맞습니다. (D) 64 라면 6 번 나눠야 했고, (B) 16 이라면 4 번에서 멈춰야 했을 텐데, 둘 다 실제와 다릅니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 소인수분해 개념과, 5² - 3² 같은 작은 수로 확인할 수 있는 인수분해 한 가지 — a² - b² = (a-b)(a+b) — 만 있으면 풀 수 있어요!

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