AMC 8 · 2016 · #20

학년 6 number-theory

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Logic-Deduction / Elimination

lcmgcdprime-factorization identify-subproblemscaseworkguess-and-check ↑ 선수 지식: prime-factorizationlcmgcd

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트

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문제

양의 정수 a, b, c 가 lcm(a, b) = 12, lcm(b, c) = 15 을 만족합니다. lcm(a, c) 의 최솟값을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

120

(E)

180

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 이 딱 맞습니다. 두 lcm 조건이 변수 b 를 공유하므로, 문제를 세 조각으로 나눕니다 — 먼저 b 의 후보를 좁히고(b 는 12 와 15 의 공약수), 각 후보별로 가장 작은 a 와 가장 작은 c 를 따로 찾고, 마지막에 lcm(a, c) 를 계산해 비교합니다. 도구 #6(추측하고 확인하기) 은 남은 두 경우 b = 1, b = 3 을 직접 대입해 정답을 가려내는 데 씁니다. 도구 #13(대수로 바꾸기) 은 후보가 단 두 개뿐인 이 문제에는 과한 도구라 일부러 피합니다.

1STEP 1

주어진 수를 소인수분해: 12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5 — 등장 가능한 소수는 2, 3, 5 뿐이에요.

12 = 2² × 3, 15 = 3 × 5

2STEP 2

b 는 12 와 15 를 모두 나누므로 b ∣ gcd(12, 15) = 3, 남는 후보는 b = 1 또는 b = 3 뿐이에요.

b ∣ 12 이고 b ∣ 15 → b ∣ gcd(12, 15) = 3 → b ∈ {1, 3}

3STEP 3

b = 3 이면 a = 4, c = 5 가 두 lcm 을 만족해 lcm(4, 5) = 20 이 나와요.

b = 3: a = 4, c = 5 → lcm(a, c) = lcm(4, 5) = 20

4STEP 4

b = 1 이면 a = 12, c = 15 가 강제되어 lcm(12, 15) = 60 — 훨씬 커요.

b = 1: a = 12, c = 15 → lcm(a, c) = lcm(12, 15) = 60

5STEP 5

두 경우를 비교하면 min(20, 60) = 20, 즉 선택지 (A) 예요.

min(20, 60) = 20 → (A)

정답

소수별로 답을 점검합니다. lcm(a, c) 는 a 또는 c 가 반드시 가져야 하는 모든 소수의 거듭제곱을 포함해야 합니다. 12 = 2² × 3 에서 2² 은 b 에 들어갈 자리가 없으므로(b ∣ 15 이기 때문) a 가 가져야 하고, 따라서 4 ∣ lcm(a, c). 마찬가지로 5 도 b 에 들어갈 자리가 없어 c 가 가져야 하므로 5 ∣ lcm(a, c). 두 조건을 합치면 lcm(a, c) ≥ lcm(4, 5) = 20. (a, b, c) = (4, 3, 5) 가 정확히 20 을 달성하므로 20 이 도달 가능하면서도 더 줄일 수 없는 하한입니다. (A) 와 일치합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 6학년 때 배우는 최대공약수·최소공배수만 알면 풀 수 있어요 — 12 와 15 를 소인수로 쪼개서 공통 소수 3 을 b 에 몰아넣으면, 남은 4 와 5 가 최솟값 lcm(4, 5) = 20 을 만들어 줍니다!

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