AMC 8 · 2016 · #25

학년 8 geometry-2d

유형 Compound Area by Decomposition / Difference └ 세부 유형 Circle-Polygon Hybrid

pythagorean-theoremarea-trianglessimilar-triangles identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: pythagorean-theoremarea-triangles

📏 중간 풀이 💡 4 개 인사이트 📊 도형

문제

밑변이 16, 높이가 15 인 이등변삼각형 안에 반원이 들어 있습니다. 반원의 지름은 삼각형의 밑변 위에 놓여 있고, 곡선 부분은 두 빗변에 닿아 있습니다. 이 반원의 반지름을 구하세요.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$4\sqrt{3}$

(B)

$\dfrac{120}{17}$

(C)

(D)

$\dfrac{17\sqrt{2}}{2}$

(E)

$\dfrac{17\sqrt{3}}{2}$

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 그림 그리기

도구 #1(그림 그리기) 은 도형 문제의 기본기입니다. 삼각형을 그리고, 꼭짓점 C 에서 밑변의 중점 D 까지 높이 CD 를 내린 다음, 반원이 빗변에 닿는 점을 표시하면 두 가지 사실이 한눈에 보입니다 — (i) 높이 CD 가 이등변삼각형을 두 변이 8, 15 인 직각삼각형 두 개로 쪼개서 빗변이 유명한 8-15-17 삼각형이 되고, (ii) 접점까지 그은 반지름은 빗변에 수직이라 r 은 정확히 작은 직각삼각형에서 D 로부터 빗변에 내린 수선(altitude) 입니다. 다음으로 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 "반지름 구하기" 라는 큰 문제를 "작은 직각삼각형의 넓이를 두 가지 방법으로 구하기" 라는 쉬운 부분 문제로 바꿉니다 — 한 번은 직각변 8 × 15 로, 또 한 번은 빗변 17 과 높이 r 로 계산해서 두 값을 같다고 놓으면 일차방정식 한 줄로 r 이 떨어집니다.

1STEP 1

꼭짓점 C 에서 밑변 중점 D 로 높이 CD 를 내리면 CD = 15, AD = 8; 반원(반지름 r)은 D 중심.

AD = 8, CD = 15, ∠ ADC = 90°

2STEP 2

직각삼각형 △ ADC 에 피타고라스 정리를 쓰면 빗변 AC = 17 — 유명한 8-15-17 삼각형.

AC² = AD² + CD² = 8² + 15² = 64 + 225 = 289 → AC = 17

3STEP 3

반원이 E 에서 AC 에 접하므로 반지름 DE = r 은 AC 에 수직 — r 은 △ ADC 빗변에 내린 수선입니다.

DE = r, DE ⊥ AC

4STEP 4

△ ADC 의 넓이를 두 직각변 AD, CD 로: 8 × 15 의 절반 = 60.

넓이 =

\frac{1}{2}

× AD × CD =

\frac{1}{2}

× 8 × 15 = 60

5STEP 5

이번엔 밑변 AC = 17, 높이 r 로 같은 넓이: 17r = 120 이므로 r = $\frac{120}{17}$ → (B).

\frac{1}{2}

× 17 × r = 60 → 17r = 120 → r =

\frac{120}{17}

→ (B)

정답

\frac{120}{17}

크기를 점검해 봅시다.

\frac{120}{17}

≈ 7.06 이므로 반원의 지름은 ≈ 14.1 이 되어 밑변 16 안에 양쪽으로 약간씩 여유를 두고 들어갑니다 — 문제의 그림과 정확히 일치합니다. 반지름이 높이 15 보다 작으니 곡선 부분이 꼭짓점을 뚫지도 않습니다. 두 검토 모두 통과하므로 r =

\frac{120}{17}

은 기하학적으로 합리적입니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 25번 문제는 8학년 피타고라스 정리와 "어느 변을 밑변으로 봐도 삼각형의 넓이는 같다" 는 한 가지 트릭만 알면 풀 수 있어요!

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