경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2016 · #5
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
"10으로 나눈 나머지가 3" 이라는 조건은 매우 강력합니다 — 일의 자리가 반드시 3 이어야 하므로 후보가 13, 23, 33, …, 93의 아홉 개로 줄어듭니다. 도구 #2(빠짐없이 나열하기)로 이 후보를 순서대로 적고, 도구 #3(가능성 지우기)으로 "9로 나눈 나머지가 1" 조건을 적용해 탈락 후보를 지웁니다. 9로 나눈 나머지를 빠르게 확인하기 위해 도구 #5(패턴 찾기)의 자릿수 합 규칙 — 어떤 수의 9에 대한 나머지는 자릿수 합의 9에 대한 나머지와 같다 — 을 씁니다. 후보 중 단 하나만 살아남고, 마지막에 11로 한 번 나누면 끝납니다 — 대수가 필요 없습니다.
3으로 끝나는 후보 나열하기
10으로 나눈 나머지가 3이면 일의 자리가 3 이므로, N 은 3으로 끝나는 두 자리 수 아홉 개 중 하나입니다.
수의 일의 자리 숫자를 바로 읽는 것은 4학년 자릿값 그대로입니다 — 10으로 나눈 나머지가 곧 일의 자리 숫자입니다.
4.NBT.A.2Make A Systematic List자릿수 합 규칙 떠올리기
9로 나눈 나머지는 그 수의 자릿수 합 을 9로 나눈 나머지와 같으므로, 자릿수를 더해 나머지 1 인지만 확인하면 됩니다.
자릿수 합 단축법을 알아보는 것은 4학년 배수·나누어떨어짐 패턴 — 긴 나눗셈 아홉 번을 아낄 수 있습니다.
어떤 정수를 9로 나눌 때 남는 나머지는, 그 수의 각 자리 숫자를 더한 값을 9로 나눌 때 남는 나머지와 같다.
▸ 왜?
두 자리 수는 자리값으로 이루어져 있고, 십은 곧 아홉에 하나를 더한 것이므로, 그 수는 각 자리 숫자의 합에 아홉의 묶음 여러 개를 더한 것과 같다.
▸ 왜?
그 수를 자리값으로 나누면 십의 자리와 일의 자리로 갈라진다. 십의 자리 숫자는 그만큼의 십을, 일의 자리 숫자는 그만큼의 일을 나타낸다.
▸ 왜?
십은 아홉과 하나이므로, 십 하나하나가 아홉 하나와 남는 하나로 쪼개진다. 따라서 십이 여러 개면 같은 개수의 아홉과 같은 개수의 남는 하나가 된다.
▸ 왜?
각 자리 숫자의 합을 온전한 아홉 몇 개와 아홉보다 작은 나머지로 나누어 쓰면, 아홉의 묶음이 더해져도 아홉의 개수만 늘어날 뿐 그 작은 나머지는 그대로 남는다. 아홉보다 작은 그 나머지가 바로 아홉으로 나눈 나머지다.
후보마다 검사하기
각 후보의 자릿수를 더하면, 73만 자릿수 합이 10이라 9로 나눈 나머지가 1 이므로 N = 73 입니다.
짧은 후보 목록을 훑으며 탈락을 표시하는 것은 4학년 "결과에 대한 추론" 형 소거법입니다.
4.OA.A.3Eliminate Possibilities73을 11로 나누기
N = 73을 11로 나누면, 11 × 6 = 66이고 11 × 7은 73을 넘으므로 나머지는 73 - 66 = 7 입니다.
두 자리 수를 한두 자리 수로 나누어 나머지를 구하는 것은 4학년 긴 나눗셈 표준 그대로입니다.
4.NBT.B.6Make A Systematic List이 AMC 8 문제는 사실 4학년에서 배우는 일의 자리 자릿값, 9 배수의 자릿수 합 규칙, 그리고 기본 나눗셈만으로 풀 수 있어요!
- 3으로 끝나는 후보 나열하기
- 자릿수 합 규칙 떠올리기
- 후보마다 검사하기
- 73을 11로 나누기
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