경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2018 · #7
학년 4 number-theory답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2018 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
이 문제는 두 개의 작은 문제로 자연스럽게 쪼개집니다 (도구 #7) — (가) 9의 배수라는 단서로 U 의 값을 먼저 찾고, (나) 그 다섯 자리 수를 8로 나눈 나머지를 구합니다. (가)는 "각 자리 숫자의 합이 9의 배수" 라는 잘 알려진 9의 배수 판정 패턴 (도구 #5)을 그대로 적용하면 됩니다 — U 의 후보가 0부터 9까지 단 10 개뿐이므로 도구 #6(추측하고 확인하기) 으로도 몇 초 안에 풀립니다. (나)는 한 번의 나눗셈으로 끝나며, 대수 없이도 충분합니다.
아는 자리 수 더하기
작은 문제 가: 9의 배수 판정법으로 아는 네 자리를 더하면 2 + 0 + 1 + 8 + U = 11 + U.
네 자리 숫자를 더해 11을 얻는 것은 4학년 다자릿수 덧셈 그대로입니다.
4.NBT.B.4Look For A Pattern빠진 숫자 찾기
11 + U = 18이 9의 배수가 되게 하는 한 자리 U 는 7 뿐이므로 그 수는 20187 입니다.
어떤 합이 9의 배수인지 확인하는 것은 4학년 "어떤 수의 배수 찾기" 와 같습니다.
4.OA.B.4Guess And Check8의 배수 떼어내기
작은 문제 나: 1000 (따라서 20000)이 8의 배수라 20187 mod 8은 187 mod 8과 같습니다.
1000의 배수는 곧 8의 배수라는 관찰은 4학년 배수 개념 그대로입니다.
20187을 8로 나눈 나머지를 구하려면, 마지막 세 자리 수 187을 8로 나눈 나머지만 있으면 된다.
▸ 왜?
20187은 20000과 187로 나뉘고, 20000은 8의 정확한 개수만큼이라, 8로 나눈 나머지는 모두 187 부분에서 나온다.
▸ 왜?
20000은 8의 정확한 묶음이다. 왜냐하면 20000 = 20 × 1000이고 1000 = 8 × 125이므로 20000 = 8 × 2500이기 때문이다.
▸ 왜?
20 × 1000을 20 × (8 × 125)로, 다시 (20 × 125) × 8로 묶어도 곱은 그대로여서 20000은 8 × 2500과 같다.
▸ 왜?
20000 = 8 × 2500이므로, 이는 남는 것 없이 8이 든 같은 묶음 2500개다 — 바로 8의 배수라는 뜻이다.
▸ 왜?
20000이 8의 완전한 묶음들이므로, 8로 나눌 때 나머지를 남길 수 있는 부분은 남은 187뿐이다.
▸ 왜?
20187은 그 두 부분 20000과 187을 빠짐도 중복도 없이 다시 더한 것일 뿐이다.
▸ 왜?
20187 = 8 × 2500 + 187로 나누면 20000은 완전한 8묶음만 더하므로(나머지 0), 나눗셈을 20187 = q × 8 + r (0 ≤ r ＜ 8)로 쓰면 그 작은 나머지 r은 온전히 187에서 나올 수밖에 없다.
187을 8로 나누기
187 이하 최대의 8의 배수는 8 × 23 = 184 라 187 = 8 × 23 + 3, 나머지는 3 입니다.
세 자리 수를 한 자리 수로 나누어 몫 23과 나머지 3을 구하는 것은 4학년 "나머지 있는 나눗셈" 표준 그대로입니다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems나머지 확인하기
두 작은 문제를 합치면 20187 mod 8 = 187 mod 8 = 3, 답은 (B)입니다.
두 작은 문제의 답을 이어 붙이는 것은 도구 #7 "쪼갠 문제 합치기" 의 핵심 동작입니다.
4.NBT.B.6Identify Subproblems이 AMC 8 문제는 사실 4학년 때 배운 배수 판정법과 "나머지 있는 나눗셈" 만 알면 풀 수 있어요!
- 아는 자리 수 더하기
- 빠진 숫자 찾기
- 8의 배수 떼어내기
- 187을 8로 나누기
- 나머지 확인하기
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