AMC 8 · 2016 · #9

학년 5 number-theory
유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Fraction / Expression Sum Evaluation
prime-factorizationdivisibility-rulesprime-numbers identify-subproblemsguess-and-check ↑ 선수 지식: divisibility-rulesprime-numbers
📏 짧은 풀이 💡 2 개 인사이트
📘 쉬운 버전 보기 →
문제
2016의 서로 다른 소인수들의 합을 구하는 문제입니다. "서로 다른" 이라는 말은, 소인수분해에서 같은 소수가 여러 번 나오더라도 합에는 한 번만 더한다는 뜻입니다.

답을 골라 클릭하세요.

(A)
9
(B)
12
(C)
16
(D)
49
(E)
63

AMC 8 2016 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정
전략 작은 문제로 쪼개기

도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 질문을 두 개의 깔끔한 작업으로 나눕니다: (a) 2016을 소인수분해하기, (b) 서로 다른 소인수들을 더하기. 도구 #6(추측하고 확인하기)는 (a) 단계를 맡습니다 — 작은 소수 2, 3, 5, 7, … 을 순서대로 시도하면서 몫이 1이 될 때까지 나눠 봅니다. 도구 #13(대수)처럼 무거운 도구는 굳이 쓸 필요가 없습니다. 네 자리 수에 대한 시행 나눗셈이 가장 직접적인 길입니다.

1STEP 1

작은 문제 1: 2016을 2 로 반복해 나눠 홀수 몫 63 이 나올 때까지 줄입니다.

2016 ÷ 2 = 1008, 1008 ÷ 2 = 504, 504 ÷ 2 = 252, 252 ÷ 2 = 126, 126 ÷ 2 = 63
2STEP 2

63 은 홀수라 3 으로 바꿉니다 (자리합 6+3=9 는 3 의 배수). 3 으로 두 번 나누면 7 이 남습니다.

63 ÷ 3 = 21, 21 ÷ 3 = 7
3STEP 3

7 은 그 자체로 소수이므로 분해가 끝납니다: 2⁵ × 3² × 7.

2016 = 2⁵ × 3² × 7
4STEP 4

작은 문제 2: 지수는 무시하고 서로 다른 소수 밑 2, 3, 7 만 남깁니다.

서로 다른 소인수 = {2, 3, 7}
5STEP 5

세 개의 서로 다른 소수 2 + 3 + 7 을 더해 선택지와 맞춥니다.

2 + 3 + 7 = 12 → (B)
정답
12
소인수분해를 다시 곱해 확인합니다: 2⁵ = 32, 3² = 9, 32 × 9 = 288, 그리고 288 × 7 = 2016. 분해가 정확하므로 서로 다른 소인수는 정말 {2, 3, 7} 이고 그 합은 12. 선택지 (B) 는 작고 합리적인 값이며, 함정 선택지 (D) 49 와 (E) 63 은 각각 소수의 거듭제곱을 더하거나(2⁵ + 3² + 7 = 32 + 9 + 7 = 48 ≈ 49) 7 을 분리하기 직전 단계 값 63 을 그대로 쓴 흔한 실수에 대응합니다.
💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 5학년 나눗셈과 4학년 소인수 개념만 알면 풀 수 있어요!

비슷한 유형 더 풀어보기

같은 archetype · 비슷한 학년부터.