AMC 8 · 2017 · #10

학년 7 probabilitycounting

유형 Small-Domain Constrained Search └ 세부 유형 Factor-Pair Enumeration

probability-basiccombinations-basicsystematic-enumeration systematic-enumerationcasework ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticsystematic-enumeration

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문제

1, 2, 3, 4, 5 번이 적힌 카드 다섯 장이 들어 있는 상자에서 한 번에 3 장을 (다시 넣지 않고) 꺼냅니다. 꺼낸 세 장 중 가장 큰 수가 정확히 4 일 확률을 구하시오.

답을 골라 클릭하세요.

(A)

$frac{1}{10}$

(B)

$frac{1}{5}$

(C)

$frac{3}{10}$

(D)

$frac{2}{5}$

(E)

$frac{1}{2}$

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 빠짐없이 나열하기

5 장 중 3 장을 고르는 경우는 C(5, 3)=10 가지뿐이라서 모든 묶음을 그냥 종이에 다 적을 수 있습니다(도구 #2). 목록이 눈앞에 펼쳐지면 도구 #3(가능성 지우기) 으로 "가장 큰 수가 4 가 아닌" 묶음을 지워 내기 쉬워집니다 — 5 번이 들어간 묶음과 4 번이 안 들어간 묶음을 모두 빼면, 남은 게 바로 우리가 원하는 묶음입니다. 조합 공식 없이도 확률이 곧장 나옵니다.

1STEP 1

{1,2,3,4,5} 에서 고른 3 장 묶음을 오름차순 규칙으로 빠짐없이 나열합니다 — 규칙을 정하면 빠짐도 겹침도 없습니다.

{1,2,3},{1,2,4},{1,2,5},{1,3,4},{1,3,5},{1,4,5},{2,3,4},{2,3,5},{2,4,5},{3,4,5}

2STEP 2

목록을 세면 묶음이 10 개, 표본공간의 크기는 10 입니다.

전체 묶음 수 = 10

3STEP 3

5 가 든 묶음과 4 가 없는 묶음을 지우면 3 개만 남습니다: {1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}.

남은 묶음: {1,2,4},{1,3,4},{2,3,4}

4STEP 4

확률 = (조건 만족 묶음) ÷ (전체) = 10 중 3, 곧 선택지 (C) 입니다.

P(최댓값=4) =

\frac{3}{10}

→ (C)

정답

\frac{3}{10}

대칭성을 이용해 확인해 봅시다. {1,…,5} 에서 3 장을 뽑을 때 최댓값이 5 일 확률은

\frac{C(4, 2)}{10}

\frac{6}{10}

, 최댓값이 4 일 확률은

\frac{C(3, 2)}{10}

\frac{3}{10}

, 최댓값이 3 일 확률은

\frac{C(2, 2)}{10}

\frac{1}{10}

입니다. 합이

\frac{6+3+1}{10}

=1 이 되어 모든 가능성이 빠짐없이 채워지므로, "최댓값 =4" 가

\frac{3}{10}

이라는 결과가 일관됩니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 7학년 "모든 경우를 적어 보고 조건에 맞는 것만 세서 나누기" 라는 확률 모형만 알면 풀 수 있어요!

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