AMC 8 · 2017 · #14

학년 6 rate-ratioalgebra

유형 Arithmetic Expression Decomposition └ 세부 유형 Weighted Group Aggregation

percentagemean-median-mode-rangeratio-proportion identify-subproblemsconvert-to-algebra ↑ 선수 지식: fraction-arithmeticpercentage

📏 중간 풀이 💡 3 개 인사이트

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문제

클로이와 조이는 같은 수학 숙제를 받았어요. 두 사람 모두 문제의 절반은 혼자 풀고, 나머지 절반은 둘이 함께 풀었어요. 클로이는 혼자 푼 문제 중 80% 를 맞혔고 전체로는 88% 를 맞혔어요. 조이는 혼자 푼 문제 중 90% 를 맞혔어요. 그렇다면 조이가 전체 문제 중 맞힌 비율은 몇 퍼센트일까요?

답을 골라 클릭하세요.

(A)

(B)

(C)

(D)

(E)

AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.

풀이 과정

전략 작은 문제로 쪼개기

묻는 건 조이인데 주어진 정보는 대부분 클로이 이야기예요 — 이 정보의 빈틈이 곧 이 문제의 핵심이에요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기) 로 두 단계로 나눕니다: (1) 클로이의 두 숫자에서 "함께 푼 정답률" T% 를 복원하고, (2) 조이의 혼자 정답률과 T% 를 평균 내어 조이의 전체 정답률을 구해요. (1) 단계의 풀이는 도구 #13(대수로 바꾸기) 으로 $\frac{1}{2}$ (80) + $\frac{1}{2}$ (T) = 88 한 줄 방정식이면 충분해요. 두 절반의 크기가 같으니 전체 정답률은 그냥 두 절반 정답률의 평균이라서 가중 평균 계산은 필요 없어요. 도구 #3(가능성 지우기) 는 마지막에 T = 96 을 클로이 식에 다시 넣어 확인하는 용도로 남겨 둡니다.

1STEP 1

두 절반의 크기가 같으니, 각자의 전체 정답률은 혼자 절반과 함께 절반 정답률의 평균이에요.

전체% =

\frac{1}{2}

(혼자%) +

\frac{1}{2}

(함께%)

2STEP 2

함께 푼 절반의 정답률을 T 라 두면(두 사람 공통), 클로이의 숫자를 평균 공식에 대입해요.

\frac{1}{2}

(80) +

\frac{1}{2}

(T) = 88

3STEP 3

좌변을 정리하고 T 만 남겨요: 40 을 빼고 2 를 곱하면 T = 96.

40 +

\frac{T}{2}

= 88 →

\frac{T}{2}

= 48 → T = 96

4STEP 4

조이의 혼자 90% 와 같은 T = 96 을 평균 내면 (90 + 96)/2 = 93 이에요.

조이 전체% =

\frac{1}{2}

(90) +

\frac{1}{2}

(96) =

\frac{90 + 96}{2}

\frac{186}{2}

= 93

5STEP 5

93% 는 보기 (C); T = 96 을 클로이 식에 되넣으면 $\frac{1}{2}$ (80) + $\frac{1}{2}$ (96) = 88% 로 주어진 값과 일치해요.

93% → (C)

정답

조이는 혼자서도 90% 나 맞히고 클로이와 같이도 풀었어요. 둘이 머리를 맞대면 혼자보다 잘하는 게 자연스러우니, 함께 푼 정답률은 클로이 혼자 점수 80% 보다 높아야 하는데 실제로 T = 96% 가 나와 조건을 만족합니다. 조이의 전체 정답률은 혼자 90% 와 함께 96% 의 가운데 값이어야 하므로 정확히 중점인 93% 가 나옵니다 — 조이 혼자 점수보다는 높고(같이 푸니까 도움이 됐다), 클로이 전체 88% 보다는 높다는 점(조이가 혼자 풀이가 더 강함) 모두 방향이 맞습니다. 세 가지 방향 점검을 모두 통과합니다.

💡핵심 정리

이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 퍼센트와 평균만 알면 풀 수 있어요 — 두 묶음의 크기가 같으면 전체 정답률은 두 정답률의 평균이거든요!

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