경시 · AMC 대비 · 4단계 중 4
AMC 8 · 2017 · #14
학년 6 rate-ratioalgebra답을 골라 클릭하세요.
AMC 8 2017 problem © Mathematical Association of America (MAA AMC). Reproduced for educational use.
묻는 건 조이인데 주어진 정보는 대부분 클로이 이야기예요 — 이 정보의 빈틈이 곧 이 문제의 핵심이에요. 도구 #7(작은 문제로 쪼개기)로 두 단계로 나눕니다: (1) 클로이의 두 숫자에서 "함께 푼 정답률" T% 를 복원하고, (2) 조이의 혼자 정답률과 T% 를 평균 내어 조이의 전체 정답률을 구해요. (1) 단계의 풀이는 도구 #13(대수로 바꾸기)으로 1/2(80) + 1/2(T) = 88 한 줄 방정식이면 충분해요. 두 절반의 크기가 같으니 전체 정답률은 그냥 두 절반 정답률의 평균이라서 가중 평균 계산은 필요 없어요. 도구 #3(가능성 지우기)는 마지막에 T = 96을 클로이 식에 다시 넣어 확인하는 용도로 남겨 둡니다.
절반씩 나누는 규칙 쓰기
두 절반의 크기가 같으니, 각자의 전체 정답률은 혼자 절반과 함께 절반 정답률의 평균이에요.
두 그룹의 크기가 같을 때는 두 정답률의 평균이 곧 전체 정답률이에요 — 가중치 계산이 따로 필요 없어요.
각자의 숙제는 혼자 푼 절반과 크기가 같은 함께 푼 절반으로 이루어지므로, 전체 정답률은 혼자 정답률과 함께 정답률을 그냥 평균한 값이다.
▸ 왜?
전체 정답률은 맞힌 문제 전부를 전체 문제 수에 견준 것이고, 그 전체 맞힌 수는 혼자 절반에서 맞힌 수와 함께 절반에서 맞힌 수를 더한 것이다.
▸ 왜?
혼자 절반과 함께 절반은 어떤 문제도 빠뜨리거나 두 번 세지 않고 모든 문제를 덮으므로, 두 맞힌 수를 더하면 전체 맞힌 수가 된다.
▸ 왜?
각 절반의 점수는 퍼센트로 주어지고, 그 절반 문제 수의 퍼센트는 그 수의 100분의 몇일 뿐이므로 — 정해진 맞힌 개수가 된다.
▸ 왜?
두 절반의 문제 수가 같으므로, 그 공통 크기를 두 몫의 공통 인수로 묶어 낸 뒤 전체의 같은 크기와 약분하면, 두 비율이 똑같은 비중으로 남는다.
▸ 왜?
같은 절반 크기가 각 절반의 비율에 곱해져 있으므로, 두 비율에 대한 하나의 공통 인수로 합 밖으로 빼낼 수 있다.
▸ 왜?
빼낸 절반 크기를 전체 안의 똑같은 크기로 나누면 1이 되는데, 어떤 양을 그 자신으로 나누면 곱셈이 되돌려지기 때문이다.
클로이의 식 세우기
함께 푼 절반의 정답률을 T 라 두면(두 사람 공통), 클로이의 숫자를 평균 공식에 대입해요.
"클로이의 전체 정답률이 88%다" 라는 말을 한 미지수 T 의 방정식으로 옮기는 건 6학년 수준의 일차방정식 세우기예요.
6.EE.B.7Convert To Algebra함께 푼 정답률 구하기
좌변을 정리하고 T 만 남겨요: 40을 빼고 2를 곱하면 T = 96.
양변에서 40을 빼고 2를 곱하면 T 가 나와요 — 6학년 "px + q = r 꼴 풀기" 그대로예요.
6.EE.B.7Convert To Algebra조이에게 같은 규칙 적용하기
조이의 혼자 90% 와 같은 T = 96을 평균 내면 (90 + 96)/2 = 93 이에요.
앞에서 쓴 똑같은 "같은 크기 두 그룹의 평균" 공식을 조이 숫자로 한 번 더 쓰는 거예요.
6.SP.A.3Identify Subproblems선택지와 맞춰 보기
93% 는 보기 (C); T = 96을 클로이 식에 되넣으면 (80) + (96) = 88% 로 주어진 값과 일치해요.
정답 선택지를 고르고, 복원한 "함께 푼 정답률" 을 원래 클로이 정보에 되넣어 확인하는 건 객관식 표준 검증 절차예요.
6.RP.A.3Eliminate Possibilities이 AMC 8 문제는 사실 6학년 때 배운 퍼센트와 평균만 알면 풀 수 있어요 — 두 묶음의 크기가 같으면 전체 정답률은 두 정답률의 평균이거든요!
- 절반씩 나누는 규칙 쓰기
- 클로이의 식 세우기
- 함께 푼 정답률 구하기
- 조이에게 같은 규칙 적용하기
- 선택지와 맞춰 보기
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